| 研究概要 |
以下、リーマン面と言えば種数2以上のコンパクトリーマン面のこととする。(a)二つのリーマン面間の非定値正則写像の数は、有限である。(b)リーマン面をひとつ固定したとき、そのリーマン面からの非定値正則写像があるようなリーマン面の数は,有限である。
主張(a)、(b)をあわせてde Franchisの定理というde Franchisの定理について、本研究は、その種数にのみ依存する上界を、できればシャープな形であたえようとしてきた。そして当該研究期間中に、これまで知られている種数にのみ依存する最小の上界を与える論文、Bounds on the number of holomorphic maps of compact Riemannを出版するに至った。また研究過程で、二つのコンパクトリーマン面間の非定値正則写像が与えられたとき、それによってホモロジー群間の準向形が自然に得られるが、その形を特徴づけることが出来れば、写像の数について良い情報が得られるかも知れないと考えた。これに関しては、Maretensが90年代初頭に、「特に正則写像の位数が素数のときは、基底を適当に取り替える事によって得られるPoincar＼'e normal formと呼ばれるホモロジー群間の準同形の行列表現が、非常にきれいな形になることを指摘した。さらに、二つのPoincar＼'e normal formについては、それをinduceするような、コンパクトリーマン面間の非定値正則写像の実例を与えた。これについて、本研究では、正則写像の位数が素数のときは、Martensが実例を与えた、二つのPoincar＼'e normal formしか、表現としては起こりえないこと、また、そのうちの一つのnormal formが行列表現になっていることと、写像がnormalかつ非分岐であることとが、必要十分であることを示した。これについては、論文として、Holomorphic maps of Riemann surfaces and Weierstrass pointsにまとめた。
|
