| 研究課題/領域番号 |
14540159
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
平野 載倫 横浜国立大学, 大学院・環境情報研究院, 教授 (80134815)
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| 研究分担者 |
内藤 幸一郎 熊本大学, 工学部, 教授 (10164104)
玉野 研一 横浜国立大学, 大学院・工学研究院, 教授 (90171892)
塩路 直樹 横浜国立大学, 大学院・環境情報研究院, 助教授 (50215943)
小宮 英敏 慶応大学, 商学部, 教授 (90153676)
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| キーワード | 変分法 / ホモロジー理論 / ハミルトニアンシステム / 解の多重性 / 非線形楕円型方程式 / ディクレ問題 / subharmonic |
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| 研究概要 |
本年度は、二階のハミルトニアンシステムと非線形の楕円型境界値問題に主眼をおいて、解の多重性、それぞれの解の特性、および解のダイナミクスを探ることをした。具体的には、非線形の項をもつVan del Vol型の二階の自励系の方程式の周期解の存在、および非線形楕円型問題においては、Diriclet型の半線形楕円型方程式で、superlinearなgrowth conditionを満たす非線形項をもつものについて、それぞれ解の存在と、多重性を考察した。そのための方法として,位相的な方法(特に、ホモロジー論、ホモトピー論、デグリー理論>.を用いることにも成功している。すなわち、近年見つかりつつある、これらの位相的な方法を微分方程式の解の解析に結びつける手法を用いるという当初の計画を実行に移すことができた。このような試みは,古くはSmale等によって試みられ、近年も国内外の何人かの研究者によって進められつつあるが,本研究ではそのような方法が極めて効果的に用いられている。具体的には、二階のハミルト-アンシステムにおいては、与えられた外力の周期に対して、それに共鳴する解の存在を、Morse Indexを評価することによって、求めている。また、自励系においては、S^1 degreeを評価することによって解の存在を示している。これは従来の結果の拡張になっている。非線形の楕円型の境界値問題においては、おもにディクレ境界値を考えて、非線形項がいわゆるcritical soborevに対応するgrowth conditionを満たす場合について、定義域の幾何学的、あるいは位相的な性質が解の多重性に及ぼす効果を調べている。すなわち、定義域が十分に複雑な位相構造をもては、解の多重性が見込まれるという予想のもとに、いくつかのケースについて、解の多重性を示している。これらの結果は従来知られていないもので、本研究の成果である。
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