| 研究概要 |
本年度も引き続き、滑らかな多様体M上の微分同相写像の作る群の表現について考えた。このような写像のうち、supportがcompactであるものの全体をDiff_<0(>(M)と記す。この群はもとの多様体Mの情報を沢山もっており、また量子力学との密接な関係をもつため、その表現を調べることは意義あること思われる。事実、いままでに様々な群の既約表現が構成されてきた。
本研究では、これらと本質的に異なる(同値でない)無限次元表現を、無限大のmassをもったM上の滑らかな測度μの無限制限直積を用いて構成することに成功した。より正確に述べると以下のようになる;
E:={E_n}をMのBorel setの可算族で次の3つの性質をもつものとする(Eをμ-unitalという)。
(1)0<μ(E_n)<+∞ (2)Σ|1-μ(E_n)|<+∞ (3) E_nは互いに素。
このμ-unital Eを用いると、M^∞上に制限直積測度υ_Eがまず構成できる。つぎに、自然数上の有限個を置換する無限対称群の既約ユニタリ表現Πをひとつとり、M^∞上の可測関数fで次の性質を持っものを考える。
(1)f(xσ)=Π(σ)^<-1>f(x) (2) f(x)はD_E上2乗可積分、ただしD_EはσでD_Eを動かして得られた集合が互いに素で、その和集合がυ_Eに関してfull measureとなるBorel集合である。このようなfの全体をH(Σ)として、ここへDiff_<0(>(M))が対角的作用するL^2上の自然表現を持ち込む(ただし、Σ=<E,Π))。すると、ユニタリ表現(T(g), H(Σ)), g∈Diff_<0(>(M))ができる。この表現に関する主要な結果はつぎの通りである;
[1]ユニタリ表現(T(g), H(Σ))は既約である。
[2]Σ=(E,Π)とΣ=(E',Π')に関する2つの表現がユニタリ同値であるための必要十分条件はある置換aが存在してΠとΠ'をaで共役形になおしたものが同値、かつΣ|μ(E'_<a(n)>-μ(E_n)|<+∞ となること。
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