高種数スペクトルパラメータをもつ可積分系

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540172
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 高崎 金久 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (40171433)
• 研究分担者: 上木 直昌 京都大学, 大学院・環境学研究科, 助教授 (80211069) ; 上 正明 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (80134443) ; 武部 尚志 お茶の水女子大学, 理学部, 助教授 (60240727) ; 藤井 道彦 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (60254231) ; 加藤 信一 京都大学, 総合人間学部, 教授 (90114438)
• キーワード: 可積分系 / ソリトン方程式 / 代数曲線 / 種類 / ベクトル束 / モジュライ空間 / 可換微分作用素対 / 共形場理論

研究概要

1.有理函数(あるいは分子・分母に分けて多項式の組とみなす)のモジュライ空間にはAtiyah-Hitchin構造と呼ばれるPoisson構造に基づいて可積分Hamilton系を構成できることが知られているが,今回の研究では,有理函数や多項式の代わりに任意種数の複素代数曲線上の適当な有理型函数を用いて同様の可積分系を構成できることを明らかにした.
2.Wess-Zumino-Witten模型は代表的な共形場理論である.特にトーラス(複素楕円曲線)上で定義された模型ならびにその仲間(ひねられたWess-Zumino-Witten模型)は古典・量子可積分系とも深く関わっている.今回の研究ではトーラスが退化する極限においてそれらの性質を明らかにした.
3.1変数の可換微分作用素対はスペクトル曲線と呼ばれる代数曲線ならびにその上のベクトル束などの代数幾何学的データで特徴づけられることが知られている.特にベクトル束の階数が1の場合にはソリトン方程式(KP階層)の代数幾何学的特殊解(テータ函数とAbel積分で具体的に構成できる)に対応しているが,階数が2以上の場合にはそのような具体的な記述は知られていない.今回の研究では,階数2以上の場合は特殊解というよりもむしろ新しいソリトン方程式を定めるものと解釈すべきである,という着想を得て,そのLax表示(スペクトル曲線をスペクトルパラメータの定義域とするものが構成できる)を考察した.これによって,任意種数の代数曲線を伴うソリトン方程式をKP階層の枠組で系統的に扱う可能性が見えてきた

研究成果

• [文献書誌] 高崎金久: "Integrable systems whose spectral curve is the graph of a function"Journal of Geometry and Physics. 47巻・1号. 1-20 (2003)
• [文献書誌] 武部尚志: "A note on modified KP hierarchy and its (yet another) dispersionless limit"Lett. Math. Phys.. 59巻. 157-172 (2002)
• [文献書誌] 上木直昌: "Lifschitz tail of a random Pauli Hamiltonian with an anomalous magnetic moment"Japanese Journal of Mathematics. 28巻・2号. 261-286 (2002)
• [文献書誌] 藤井道彦: "An expression of harmonic vector-fields of hyperbolic 3-cone-manifolds in terms of the hypergeometric functions"Surikaisekikenkyushokokyuroku. 1270巻. 112-125 (2002)
• [文献書誌] 藤井道彦: "An algorithm for solving linear ordinary differential equations of Fuchsian type with three singular points"Interdisciplinary Information Science. 9巻・1号(未定). (2003)
• [文献書誌] 加藤信一: "Whittaker-Shintani functions for orthogonal groups"Tohoku J. Math.. 55巻・1号. 1-64 (2003)