非線形常微分方程式の漸近解析とその応用

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540177
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 宇佐美 広介 広島大学, 総合科学部, 助教授 (90192509)
• 研究分担者: 水田 義弘 広島大学, 総合科学部, 教授 (00093815) ; 柴田 徹太郎 広島大学, 総合科学部, 助教授 (90216010) ; 吉田 清 広島大学, 総合科学部, 教授 (80033893) ; 内藤 雄基 神戸大学, 工学部, 助教授 (10231458) ; 内藤 学 愛媛大学, 理学部, 教授 (00106791)
• キーワード: 準線形常微分方程式 / 正値解 / 振動 / 3階常微分方程式 / 4階常微分方程式 / 漸近挙動 / 2階楕円型方程式

研究概要

1.2階準線形常微分方程式の解の漸近挙動について:(1)正値解をその漸近挙動に依り数クラスに分類し、各クラスが空集合でないための必要条件、十分条件、必要十分条件を与えた。
(2)特に非線型項が劣同次性を有する場合には全ての正値解のより精密な漸近形を見い出した。また、減衰する正値解の一意性を示した。
(3)非線型項が同次性を有するとき(2階線型方程式の一般化)にいわゆる固有値問題を考察した。方程式を考察する区間の有界性に関係なく基礎的な2階線型方程式の固有値問題とのアナロジーが完全に成り立つことを証明した。
(4)半線形方程式の変分固有値問題を考察した。固有関数のノルムと固有値との漸近的な関係式を導出した。
2.高階常微分方程式の解の漸近挙動について:(1)3階Emden-Fowler型方程式の正値解の漸近形を精密に調べた。
(2)4階準線型方程式、及びその一般化である連立系を考察し、解か全て振動的となるための条件を確立した。
3.2階楕円型偏微分方程式の解の漸近的性質について:(1)半線形楕円型連立系に対する非負値非自明解の非存在定理やリューヴィユ型定理を見い出した。
(2)走化性を記述しているある種の放物型偏微分方程式系の自己相似解(それはある2階楕円型方程式の解として実現される)について考察を行った。自己相似解は球対称なものに限られることが分かった。また、自己相似解の存在が方程式に含まれるパラメータに依存するということが分かり、その敷居値を具体的に求められる場合を発見した。

研究成果

• [文献書誌] Tomomitsu Teramoto: "A Liouvill type theorem for semilinear elliptic systems"Pacific J. Math.. 204. 247-255 (2002)
• [文献書誌] Ken-ichi Kamo: "Asymptotic forms of positive solutions of third-order Emden-Fowler equations"J. Math. Anal. Appl.. 271. 297-312 (2002)
• [文献書誌] Masatsugu Mizukami: "Asymptotic behavior of solutions of a class of second order quasilinear ordinary differential equations"Hiroshima Math. J.. 32・1. 51-78 (2002)
• [文献書誌] Tetsutaro Shibata: "Three-term spectral asymptotics for nonlinear Sturm-Liouville problems"No DEA Nonlinear Differential Equations Appl.. 9. 239-254 (2002)
• [文献書誌] Yuki Naito: "Self-similar solutions to a parabolic system modeling chemotaxis"J. Differential Equations. 154. 386-421 (2002)
• [文献書誌] Manabu Naito: "On the number of zeros of nonoscillatory solutions to higher-order linear ordinary differential equations"Monatshefte fur Mathematik. 136・3. 237-242 (2002)