非線形偏微分方程式系における準周期的アトラクターの構造解析

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540182
• 研究機関: 熊本大学
• 研究代表者: 内藤 幸一郎 熊本大学, 工学部, 教授 (10164104)
• 研究分担者: 角田 法也 熊本大学, 工学部, 講師 (80185884) ; 三沢 正史 熊本大学, 理学部, 助教授 (40242672) ; 大島 洋一 熊本大学, 工学部, 教授 (20040404) ; 貞広 泰造 熊本県立大学, 総合管理学部, 講師 (00280454)
• キーワード: 偏微分方程式 / 準周期性 / フラクタル次元 / 再帰性 / ディオファンタス近似 / ディオファンタス条件 / 自己相似性 / KAM定理

研究概要

14年度における本研究では、代表者によって導入された再帰的次元を利用し、特に3振動数以上をもつ準周期系にたいしてその軌道の再帰的次元の解析を行い、この研究を基礎として、様々な非線形偏微分方程式系に現れる準周期的アトラクター解の解析を行うことを目的とした。本年度の代表者等による研究によって、準周期関数における無理数振動数の代数的な性質がその軌道の次元評価に深く関連することが調べられた。特に複雑さの度合いを計る指標として次元のGAPの概念が導入され、KAM定理におけるディオファンタス条件と深く関連のある無理数振動数の組の代数的な条件のもとに、多振動数をもつ準周期軌道における再帰的次元のGAPの評価が得られた。これらの結果は、南京大学で開催された2002 ICM Satellite Conference of the Fractal Geometry and Applicationsでの講演発表(2002年8月)をはじめ、京都大学数理解析研究所短期共同研究集会「準周期タイリングとその周辺」2002年6月、「フラクタルの数学的諸相」2003年1月などにおいて発表され、その成果は論文リスト(1)-(3)に参照されるように、Discrete and Continuous Dynamical Systemsをはじめとする学術論文誌に掲載予定である。
非線形偏微分方程式系に現れる準周期的アトラクター解の次元解析においては、ヘルダー連続性が重要な指数となるが、これに関連した結果を、分担者三沢が日本数学会特別講演で発表し、Annali di Matematicaをはじめ、論文リスト(6)-(8)の成果を得ている。また、関連する確率論の研究分野においては、分担者大島が論文リスト(4)-(5)の研究成果をTohoku Math. J. 等に、さらに、準周期タイリングに関連して、分担者貞広等により論文リスト(9)の成果が得られている。

研究成果

• [文献書誌] Koichiro Naito: "Recurrent Dimensions of Quasi-Periodic Solutions for Nonlinear Evolution Equations II : Gaps of Dimensions and Diophantine Conditions"Discrete and Continuous Dynamical Systems. (印刷中)(掲載予定). (2003)
• [文献書誌] Koichiro Naito: "Recurrent dimensions of 3-frequencies quasi-periodic solutions for nonlinear evolution equations"Proc. of the 1st Korea-Japan Joint-seminar on Nonlinear Functional Analysis and Convex Analysis 2002. (印刷中)(掲載予定). (2003)
• [文献書誌] Koichiro Naito: "Recurrent Dimensions of Quasi-Periodic Orbits with Frequencies Given by Weak Liouville Numbers"International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. (印刷中)(掲載予定). (2003)
• [文献書誌] Y.Oshima: "On the exceptionality of some semipolar sets of timeinhomogeneous Markov processes"Tohoku Math. J. Vol.54. 443-449 (2002)
• [文献書誌] Y.Oshima: "On a construction of diffusion processes on moving domains"Potential Anal.. (印刷中)(掲載予定). (2003)
• [文献書誌] M.Misawa: "Partial regularity results for evolutional p-Laplacian systems with natural growth"Manuscripta Mathematica. 109・4. 419-455 (2002)
• [文献書誌] M.Misawa: "Local Holder regularity of gradients for evolutionalp-Laplacian systems"Annali di Matematica. 181. 389-405 (2002)
• [文献書誌] M.Misawa: "On the p-harmonic flow into spheres in the singular case"Nonlinear Analysis. 50. 485-494 (2002)
• [文献書誌] 貞広泰造, 櫻井幸一: "自己相似タイル貼り構成の計算例"2002数理解析研究所講究録「数学解析の計算機上での理論的展開とその遂行可能性」. 1286. 119-330 (2002)