多次元半空間における粘性気体方程式の時間大域解の漸近挙動について

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540200
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 西畑 伸也 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (80279299)
• 研究分担者: 井口 達雄 東京工業大学, 大学院・総合理工学研究科, 助教授 (20294879) ; 西原 健二 早稲田大学, 政治経済学部, 教授 (60141876)
• キーワード: 粘性保存則 / 漸近安定性 / 圧縮性ナビエストークス方程式 / 非線形波動 / 衝撃波 / 進行波 / 希薄波 / 境界層

研究概要

本研究は空間多次元での粘性気体のモデル方程式(粘性保存則)における非線形波の漸近安定性の解析を目的としている。粘性保存則の時間大域解の研究では、1960年代のIl'in-Oleinikの一次元全空間上の先駆的な結果以来、多くの結果が得られている。一方、境界壁をもつ一次元半空間では、1990年代の末期から分担者である西原等により研究が始まったばかりである。また、多次元全空間上での粘性保存則の研究はGoodmann等により、1980年代に幾つかの結果が報告されている。これらの研究を踏まえ、平成14年度に行った報告者等の研究によって、多次元半空間上の粘性保存則に対して、境界条件と無限遠方での条件との関係のより解の漸近挙動は空間一次元の場合と同様に、希薄波、定常波、及びそれらの重ね合わせ波に分類される事が分かった。さらに、その各々のケースに対して、初期摂動の属する関数空間に依存する詳細な漸近レートを得た。この単独方程式に対する結果をより物理的に意味のある方程式系に拡張する事を目標としていた本年度の研究によって、空間多次元の圧縮性ナビエーストークス方程式の球対称解の外部問題に関して幾つかの結果が得られた。なお、この外部問題は半空間上の問題となり、昨年度の報告者等による研究によって開発された様々な手法を用いる事が出来る。まず、空間次元が2以上の等エントロピー流に対して、外力項を持つ方程式系が非有界領域上で時間大域解を持ち、それは対応する定常解に収束する事が示された。この結果は既に論文としてまとめられ、現在登校中である。さらに、空間次元が3以上ならば熱伝導を含む方程式系に対しても、同様な結果が成立する事が最近の研究で証明された。後者の結果は、現在執筆中であり、近日中に投稿予定である。来年度はこれらの結果を、球対称解とは限らない一般的な解の漸近解析に拡張する事を目標とする。

研究成果

• [文献書誌] Shuichi Kawashima, Yoshiko Nikkuni, Shinya Nishibata: "Large-time behavior of solutions to hyperbolic-elliptic coupled systems"Arch.Rationall Mech.Anal. 170. 297-329 (2003)
• [文献書誌] Shuichi Kawashima, Shinya Nishibata, Peicheng Zhu: "Asymptotic stability of the stationary solution to the compressible Navier-Stokes equations"Commun.Math.Phys.. 240. 483-500 (2003)
• [文献書誌] Shuichi Kawashima, Shinya Nishibata, Masataka Nishikawa: "Asymptotic stability of stationary waves for two-dimensional viscous conservation laws in half plane"Discrete and Continuous Dynamical Systems. Supplement Vol.. 469-476 (2003)
• [文献書誌] N.Nishihara: "Asymptotics toward the diffusion wave for a one-dimensional compressible flow through porous media"Proc.Roy.Soc.Edinburgh. 133・A. 177-196 (2003)
• [文献書誌] P.Marcati, K.Nishihara: "The $L^p$-$L^q$ estimates of solutions to one-dimensional damped wave equations and their application to the compressible flow through porous media"J.Differential Equations. 191. 445-469 (2003)
• [文献書誌] T.Iguchi, P.LeFloch: "Existence theory for hyperbolic systems of conservation laws with general flux-functions"Arch.Rational Mech.Anal. 168・3. 165-244 (2003)