積分核を有する非線形波動方程式の零分散極限での解の挙動に関する研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540209
• 研究機関: 山口大学
• 研究代表者: 松野 好雅 山口大学, 工学部, 教授 (30190490)
• 研究分担者: 栗山 憲 山口大学, 工学部, 教授 (10116717) ; 柳 研二郎 山口大学, 工学部, 教授 (90108267) ; 牧野 哲 山口大学, 工学部, 教授 (00131376) ; 増本 誠 山口大学, 理学部, 助教授 (50173761) ; 岡田 真理 山口大学, 工学部, 助教授 (40201389)
• キーワード: 非線形波動方程式 / ソリトン / 変調理論 / 零分散極限 / 逆散乱法

研究概要

積分核を有する非線形波動方程式のひとつである非局所的非線形シュレーディンガー方程式に関して以下の成果を得た。
1.厳密に解ける固有値問題
逆散乱法に基づく線形固有値問題を、多重ソリトン型のポテンシャルに対して厳密に解き、固有値、および固有関数を陽に求めた。さらに固有関数が完全系をつくることを証明した。次に多重ソリトンボテンシャルが退化した簡単な代数型ポテンシャルについても同様の解析を行い、その誰散固有値がラゲル多項式を含む代数方程式の根として得られることを示した.
2.厳密に解ける力学系との関連
ソリトン解、および周期波解の極の運動を複素平面上の力学系の立塙から検討し、これらが可積分であることを示した。実際、前者はカロジェロ・モーザー系に、後者はカロジェロ・モーザー・サザーランド系に同等であることを証明した。これらは非局所的非線形シュレーディンガー方程式が完全可積分系であることを示唆する重要な成果である。
3.変調理論
非局所的非線形シュレーディンガー方程式の初期値問題の逆散乱法による定式化はまだ完成していない。ここでは特に分散が小さい場合の初期値問題の解の構成を変調理論に基づいて行った。主要成果は、波の速度や波数に対する変調方程式が極めて簡単な形に書け、解が容易に求まることである。具体例として階段状の初期条件に対して解を構成した。これらの結果は、従来からよく知られているKdV方程式や非線形シュレディンガー方程式の対応する変調理論には見られない新しい知見を含んでいる。

研究成果

• [文献書誌] Y.Matsuno: "Calogero-Moser-Sutherland dynamical systems associated with nonlocal nonlinear Schrodinger equation for envelope waves"Journal of the Physical Society of Japan. 71(6). 1515-1518 (2002)
• [文献書誌] Y.Matsuno: "Exactly solvable eigenvalue problem for a nonlocal nonlinear Schrodinger equation"Inverse Problems. 18. 1101-1125 (2002)
• [文献書誌] Y.Matsuno: "Asymptotic solutions of the nonlocal nonlinear Schrodmger equation in the limit of small dispersion"Physics Letters A. 309(1-2). 83-89 (2003)
• [文献書誌] T.Makino: "Approximations of the relativistic Euler-Poisson-Darboux equation"Funkcialaj Ekvacioj. 46(1)(発表予定). (2003)
• [文献書誌] M.Okada: "Free boundary problem for the equation of one-dimensional motion of compressible gas with density-dependent viscosity"Ann. Univ. Rerrara Sez. VII-Sc. Mat.. XLVIII. 1-20 (2002)
• [文献書誌] M.Masumoto: "Hyperbolically maximal domains and fundamental domains for a discontinuous group of conformal automorphisms of a Riemann surface"The Quarterly Journal of Mathematics. 53(3). 337-346 (2002)