| 研究概要 |
1.主要部がべきオーダーの増大度を持たない準楕円型方程式を全空間で考え,正値解の存在を証明し,その結果をとりまとめた。ここで扱った方程式に付随するエネルギー汎関数は従来のSobolev空間では扱うことが不可能であり,そのため,それに付随したOrlicz-Sobolev空間およびその上で定義された汎関数の性質を詳しく研究した。それらの結果を基にしてP.L.Lionsのconcentration-compactnessの議論を適用し,正値解の存在を証明することができた。
2.主要部は1.と同様のものであるが,外力項の原点および無限大における増大度が主要部の増大度に比べて共に小さいときに正値多重解の存在を得ることができ,これをとりまとめた。扱った領域は有界領域であるが,1.で得たOrlicz-Sobolev空間とその上で定義された汎関数の基本的な性質を縦横に使うと共に,この方程式に対して解の正則性,比較定理等が成り立つことを示し,それらを使うことにより,変分的方法と劣解・優解法を組み合わせて複数の正値解の存在を示した。さらに,最大解の存在も示すことができた。
3.主要部が急速な増大度を持つ場合と同様,緩やかな増大度を持つ場合にもそれに付随する汎関数を定義するOrlicz-Sobolev空間が回帰的とならず,汎関数もフレッシェ微分不可能となり,解析が極めて困難である。K.Leは変分不等式を扱うことにより劣臨界な外力項をもつこのような方程式を取り扱った。ここではこの方程式により得られた解を利用して外力項が臨界増大度を持つ場合に正値解の存在を得た。臨界な増大度を持つ外力項をまず,劣臨界な外力項で近似し,それに対する解の列を考え,concentration-compactnessの議論を使うことによりこの列が正値解に収束することを示した。この結果は現在とりまとめ中である。
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