非線型微分方程式の変分法を用いた解析

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540216
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20188288)
• 研究分担者: 中島 主恵 東京水産大学, 水産学部, 助教授 (10318800) ; 足達 慎二 早稲田大学, 理工学部, 助手 (40339685) ; 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656) ; 倉田 和浩 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10186489) ; 柴田 徹太郎 広島大学, 総合科学部, 助教授 (90216010)
• キーワード: 変分問題 / 非線形楕円型方程式 / ハミルトン系

研究概要

主に(i)R^Nにおける非線型楕円型方程式(ii)ハミルトン系に関する周期軌道の存在問題,のふたつについて成果が得られた.
まず非線型楕円型方程式に関して"R^Nにおけるleast energy solutionがいつMountain Pass Theoremにより特徴づけられるか?"という疑問から研究を始めた.L. Jeanjean氏らとの共同研究により,非常に一般的な仮定(Berestycki-Lionsの存在定理と全く同じ仮定-この仮定は解の存在のためのほとんど必要十分条件である-)の下で,特徴付けが可能であることが示された.そしてその応用として空間変数xに依存性をもつ非線型楕円型方程式の正値解の存在および特異摂動問題の仮定の下での解の存在結果を得ることが可能となった.
また倉田氏との研究協力により生物現象をモデルとした方程式に対し特異摂動問題を考察し,非自明解の存在,非存在を議論した.この問題においては極限方程式が0を固有値としてもち,ある意味で退化した問題である.極限方程式が0を固有値にもたない場合とは全く異なる現象を見いだすことができ,進展を見た.なお,楕円型方程式に関しては大谷氏-石渡氏,柴田氏の特異摂動問題およびspectral asymptoticsの研究もそれぞれ進展した.
ハミルトン系に関しては特異性をもつハミルトン系に対する周期軌道の存在をprescribed energy problemの設定の下で足達氏は考察し,特異点集合Sが体積をもつ場合には特異性がV(q)〜-1/dist(q, S)^α(α>0)と非常に弱い場合にもその存在を示すことに成功した.ここで,特異点集合Sが一点の場合と異なり,energy levelを正としても周期軌道が存在することが特筆される.

研究成果

• [文献書誌] L.Jeanjean, K.Tanaka: "A remark on least energy solutions in IR^N"Proc. Amer. Math. Soc.. (未定). (2003)
• [文献書誌] S.Adachi, K.Tanaka, M.Terui: "A remark on periodic solutions of singular Hamiltonian systems"NoDEA Nolinear Diff. Eq. Appl.. (未定). (2003)
• [文献書誌] K.Nakashima, K.Tanaka: "Clustering layers and boundary layers in spatially inhomogeneous phase transition problems"Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire. 10. 107-143 (2003)
• [文献書誌] M.del Pino, P.Felmer, K.Tanaka: "An elementary method for the construction of complex solutions for nonlinear Schrodinger equations"Nonlinearity. 15. 1653-1671 (2002)
• [文献書誌] L.Jeanjean, K.Tanaka: "A positive solution for an asymptotically linear elliptic problem on R^N autonomous at infinity"ESAIM Control Optim. Calc. Var.. 7. 597-614 (2002)
• [文献書誌] S.Adachi, K.Tanaka: "Existence of positive solutions for a class of nonhomogeneous elliptic equations in R^N"Nonlinear Analysis : TMA. 48. 685-705 (2002)
• [文献書誌] T.Shibata: "Three-term spectral asymptotics for nonlinear Sturm-Liouville problems"NoDEA Nonlinear Diff. Eq. Appl.. 9. 239-254 (2002)
• [文献書誌] T.Shibata: "Precise spectral asymptotics for nonlinear Sturm-Liouville problems"J. Diff. Eq.. 180. 374-394 (2002)
• [文献書誌] M.Ishiwata, M.Otani: "Concentration compactness principle at infinity with partial symmetry and its application"Nonlinear Analysis : TMA. 51. 391-407 (2002)
• [文献書誌] S.Hashimoto, M.Otani: "Sublinear elliptic equations and eigenvalue problems with singular coeficiants"Comm. Appl. Anal.. 6. 535-547 (2002)
• [文献書誌] T.Shibata: "Precise spectral asymptotics for the Dirichlet problem -u"+g(u)=λ sin u"J. Math. Anal. Appl.. 267. 576-598 (2002)