非線型微分方程式の変分法を用いた解析

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540216
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20188288)
• 研究分担者: 柴田 徹太郎 広島大学, 総合科学部, 助教授 (90216010) ; 倉田 和浩 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10186489) ; 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656) ; 石渡 通徳 早稲田大学, 理工学部, 助手 (30350458) ; 足達 慎二 静岡大学, 工学部, 助教授 (40339685)
• キーワード: variational problems / critical point theory / nonlinear elliptic equation / singular perturbation

研究概要

本年度はR^Nにおける非線型楕円型方程式の研究,特にその特異摂動問題に関する研究において成果が得られた.
まず,代表者はL.Jeanjean氏との共同研究によりR^Nにおける非線型Schrodinger方程式に対する特異摂動問題に関して進歩がみられた.特に,今まで扱うことができなかった広いクラスの非線型項---漸近的に線型の増大度をもつ非線型項をも許容するクラス---に対してもepsilon -> 0のときポテンシャルV(x)の極小点に集中し,スパイクを形成する解の族の構成に成功した.ここにおいて,昨年までの研究で行られたleast energy solutionのMountain Pass Theoremによる特徴付けが非常に重要な投割を果たしている.
またY.Dingとの共同研究においては非線型Schrodinger方程式に対して異なるタイプの特異摂動問題を考察し,従来知られていたものよりもより複雑なパターンを極限とする解の族の構成に成功した.また1次元の特異摂動問題についても従来考察されていない高エネルギーをもつ解のクラスに関する研究においてもFelmer氏らとの共同研究により成果が得られている.
研究分担者 倉田,柴田,大谷,石渡はそれぞれ非線型楕円型方程式の研究において成果を得た.倉田はシリンダー状の漸近形状をもつ非有界領域での正値解の存在を,柴田は単振り子の方程式等に対して境界層の漸近的性質を知らべ,境界層の固有値パラメーターに関する漸近展開公式を導いた.また大谷はSymmetric criticalityに関する原理を見出し,種々の応用を見出す等の成果を得た.

研究成果

• [文献書誌] L.Jeanjean, K.Tanaka: "A positive solution for a nonlinear Schrodinger equation on R^N"Indiana Univ.Math.J.. (未定). (2004)
• [文献書誌] L.Jeanjean, K.Tanaka: "A note on a mountain pass characterization of least energy solutions"Advanced Nonlinear Studies. 3. 461-471 (2003)
• [文献書誌] L.Jeanjean, K.Tanaka: "Singularly perturbed elliptic problems with superlinear or asymptotically linear nonlinearities"Calculus of Variations and Partial Differential Equations. (未定). (2004)
• [文献書誌] L.Jeanjean, K.Tanaka: "A remark on least energy solutions in R^N"Proc.Amer.Math.Soc.. 131. 2399-2408 (2003)
• [文献書誌] Y.Ding, K.Tanaka: "Multiplicity of positive solutions of a nonlinear Schrodinger equation"Manuscripta Mathematica. 112. 109-135 (2003)
• [文献書誌] K.Kurata, M.Shibata, K.Tada: "Existence of positive solutions for some nonlinear elliptic equations on unbounded domains with cylindrical ends"Nonlinear Analysis. 55. 83-101 (2003)
• [文献書誌] T.Shibata: "The effect of the variational framework on the spectral asymptotics for two-parameter nonlinear eigenvalue problems"Mathematische Nachrichten. 248/249. 168-184 (2003)
• [文献書誌] T.Shibata: "Precise asymptotic formulas for variational eigencurves of semilinear two-parameter elliptic eigenvalue problems"Annali di Matematica Pura ed Applicata. 182. 211-229 (2003)
• [文献書誌] T.Shibata: "Asymptotic formulas for boundary layers and eigencurves for nonlinear elliptic eigenvalue problems"Communications in Partial Differential Equations. 28. 581-600 (2003)
• [文献書誌] T.Shibata: "Asymptotic formulas and critical exponents for two-parameter nonlinear eigenvalue problems"Abstract and Applied Analysis. 2003. 671-684 (2003)
• [文献書誌] T.Shibata: "Asymptotic expansion of the boundary layers of the perturbed simple pendulum problems"Journal of Mathematical Analysis and Applications. 283. 431-439 (2003)
• [文献書誌] G.Akagi, J.Kobayashi, M.Otani: "Principle of symmetric criticality and evolution equations"Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2003 suppl.. 1-10 (2003)