非線型微分方程式の変分法を用いた解析

2004 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540216
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
• 研究分担者: 大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656) ; 山崎 昌男 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20174659) ; 倉田 和浩 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10186489) ; 柴田 徹太郎 広島大学, 大学院・工学研究科, 教授 (90216010) ; 石渡 通徳 早稲田大学, 理工学術院, 助手 (30350458)
• キーワード: variational problems / critical point theory / nonlinear elliptic equation / singular perturbation

研究概要

本年度は特異摂動問題の研究に関して成果が得られた.まず研究代表者はP.Felmer氏,S.Martinez氏らとともに従来変分的に全く研究されていなかった高エネルギー(振動)を持つ解の特徴づけ及び存在問題に取り組み,力学系におけるaveraging theory(より詳しくはtheory of adiabatic invariants)と関連する結果を得た.特に極限エネルギー関数を用いた解のパターンの記述を与えることに成功し,逆にadmissibleなパターンに対してそれを実現する解の構成を変分的方法に行った.
また昨年度のY.Ding氏との共同研究をさらに発展させ,符号の異なる解をつなぐmulti-bump解の構成に成功した.multi-bump解として従来得られていた解は非常に安定な正値解をつなぐものであった.ここではミニマックス法によって特徴づけられる解を安定性,非退化性を仮定せずに,つなぎmulti-bump解を得ており,従来よりも非常に多くのパターンの解の存在を示すことに成功した.また共同研究者倉田氏とは生物モデルにおけるdisruptedな環境に対応した非線型楕円型方程式に対応する特異摂動問題を考え,安定解の多重存在等を見い出した.
研究分担者 大谷,山崎,石渡,倉田,柴田,中島はそれぞれ非線型楕円型方程式の研究において成果を得た.特に大谷は準線型楕円型方程式への応用を目指し,degree理論のsubdifferential作用素への拡張を行い,倉田はsymmetry breaking等の研究を,柴田は非線型固有値問題のパラメーター依存性に関する詳しい漸近解析等を行い,さらに中島は界面現象の現れる非線型楕円型方程式を扱った.

研究成果

• [雑誌論文] Singularly perturbed elliptic problems with superlinear or asymptotically linear nonlinearities (2004)
  • 著者名/発表者名: L.Jeanjean, K.Tanaka
  • 雑誌名: Calc.Var.Partial Differential Equations 21 ページ: 287-318
• [雑誌論文] Topological degree for(S)-mappings with maximal monotone perturbations and its applications to variational inequalities (2004)
  • 著者名/発表者名: J.Kobayashi, M.Otani
  • 雑誌名: Nonlinear Anal. 59 ページ: 147-172
• [雑誌論文] Degree for subdifferential operators in Hilbert spaces (2004)
  • 著者名/発表者名: J.Kobayashi, M.Otani
  • 雑誌名: Adv.Math.Sci.Appl. 14 ページ: 307-325
• [雑誌論文] Evolution inclusions governed by the difference of two subdifferentials in reflexive Banach spaces (2004)
  • 著者名/発表者名: G.Akagi, M.Otani
  • 雑誌名: J.Differential Equations 209 ページ: 392-415
• [雑誌論文] Symmetry-breaking phenomena in an optimization problem for some nonlinear elliptic equation (2004)
  • 著者名/発表者名: K.Kurata, M.Shibata, S.Sakamoto
  • 雑誌名: Appl.Math.Optim. 50 ページ: 259-278
• [雑誌論文] The steepest point of the boundary layers of singularly perturbed semilinear elliptic problems (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Shibata
  • 雑誌名: Trans.Amer.Math.Soc. 356 ページ: 2123-2135
• [雑誌論文] Precise spectral asymptotics for logistic equations of population dynamics (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Shibata
  • 雑誌名: Bull.London Math.Soc. 36 ページ: 59-64
• [雑誌論文] Variational method for precise asymptotic formulas for nonlinear eigenvalue problems (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Shibata
  • 雑誌名: Results Math. 46 ページ: 130-145
• [雑誌論文] Asymptotic behavior of solutions for some nonlinear parabolic equations involving critical Sobolev exponent (2004)
  • 著者名/発表者名: M.Ishiwata
  • 雑誌名: GAKUTO Internat.Ser.Math.Sci.Appl. 20 ページ: 450-463
• [雑誌論文] ulti-clustered high energy solutions for a phase transition problem
  • 著者名/発表者名: P.Felmer, S.Martinez, K.Tanaka
  • 雑誌名: Proc.Roy.Soc.Edinburgh (発行予定)
• [雑誌論文] A positive solution for a nonlinear Schr＼"{o}dinger equation on R^N
  • 著者名/発表者名: L.Jeanjean, K.Tanaka
  • 雑誌名: Indiana Univ.Math.J. (発行予定)
• [雑誌論文] Multiple Stable Patterns for Some Reaction-Diffusion Equation in Disrupted Environments
  • 著者名/発表者名: I.Ide, K.Kurata, K.Tanaka
  • 雑誌名: Dis.Cont.Dyn.Sys. (発行予定)