力学系の大域的構造とカオスに対する位相的および計算的方法

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14540219
• 研究機関: 龍谷大学
• 研究代表者: 岡 宏枝 (國府 宏枝) 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20215221)
• 研究分担者: 松岡 隆 鳴門教育大学, 学校教育学部, 教授 (50127297) ; 山岸 義和 龍谷大学, 理工学部, 助手 (40247820) ; 伊藤 敏和 龍谷大学, 経済学部, 教授 (60110178) ; 石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 助教授 (20304727)
• キーワード: 力学系 / カオス / 大域的構造 / 特異摂動 / 周期軌道 / heteroclinic軌道 / Lyapunov数 / 計算機支援証明

研究概要

研究代表者の岡の今年度に得られた研究成果は以下の通りである:(1)slow-fast systemと呼ばれる特異摂動的ベクトル場は,特異極限における速い部分系とslow manifold上の遅い部分系の挙動の接合からの摂動として理解できるという利点を持つ.そのような系における周期軌道やheteroclinic軌道の存在を,Conley指数と呼ばれる位相的な指数を用いて一般的に与える枠組みを与える代表者らの研究グループによる理論をslow manifoldが高次元の場合に拡張した.目下,論文を準備中であり,また速報が国際会議の記録として掲載予定である.(2)カオス的力学系の典型的な例の1つである区間上の2次関数の定める力学系の1パラメータ族において,正のLyapunov数が存在するパラメータ集合の測度を計算機支援によって評価する研究を開始し,その最初の段階として臨界点近傍の外部に留まる軌道に沿う微分の増大度を評価するアルゴリズムを得た.この研究はさらに次年度に継続する予定である.
研究分担者の業績のうちの主なものは以下の通りである.
・Newton法において多重根を持つ場合,その解への収束の局所的構造を明らかにした.
・正則ベクトル場に対するPoincare-Bendixson型定理を余次元1葉層構造へ拡張することを目的として,あるgenericな仮定の元でその構造を明らかにした.

研究成果

• [文献書誌] Oka, Hiroe: "Conley index theory for slow-fast systems : multi-dimensional slow manifold"Proceedings of Equadiff 2003. (発表予定).
• [文献書誌] Yamagishi, Yoshikazu: "On the local convergence of Newton's method to a multiple root."J.Math.Soc.Japan. 55 4. 897-908 (2003)
• [文献書誌] Ito, Toshikazu, S.Bruno: "On holomorphic one-forms transverse to closed hypersurfaces"An.Acad.Brasil.Cienc.. 75 3. 265-269 (2003)