| 研究概要 |
本研究では,対称性(代数的性質)と可解性(力学的・統計力学性質)との関連を古典および量子力学の両方の立場からの理解を深め、「運動方程式を解く」という理論物理学の根幹の問題の解明を,'可解及び準可解量子多体系と一般化された超対称性を持つ具体的な物理系や方程式系'を通じて明らかにすることを目的とする.初年度には,佐々木は有限自由度の系については,有限自由度の古典・量子力学系で可積分性と超対称性を併せ持つCalogero-Moser系とその種々の拡張を中心に研究した.具体的には,古典可積分性と量子可積分性の密接な関係を,古典論のポテンシャルの平衡点の周りの微小振動の周波数,Lax行列の固有値(Corriganと共著),ルート系に付随する多項式の決定などを行った(小竹と共著).これらの量は,古典量であるにもかかわらず「量子化」されており,可解性の持つ強い代数的制限を明示している.1パラメタで変形されたCalogero-Moser系(Ruijsenaars-Schneider模型)の平衡点近傍微小振動の周波数についても,結合定数の簡単な初等関数で表されるという顕著な性質があることを明らかにした(Ragniscoと共著準備中).また,高スピンBelavin模型やRuijsenaars-Schneider模型の解(R-行列)に対応した,sl(n)楕円的量子群の表現について,「入れ子型」のベーテ仮設について論じた(Hou, Yangと共著)
高崎は,任意種数の複素代数曲線上の適当な有理型函数を用いて,有理函数のモジュライ空間についてのAtiyah-Hitchin構造と同様の可積分系を構成できることを明らかにした.任意種数の代数曲線を伴うソリトン方程式を,そのLax表示(スペクトル曲線をスペクトルパラメータの定義域とするものが構成できる)の考察から,KP階層の枠組で系統的に扱う可能性を示せた(準備中).
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