| 研究概要 |
今年度は,超離散力学系について重点的に研究を行った.まず,2階の常差分形式でmax項をひとつ含むような特殊な形の非線形マックスプラス方程式について,解および周期性の分類を網羅的に行った.さらにより多くのmax項を含むようなタイプについても数値実験を援用しながらどのような力学系が提示されるかについて調査した.以上の方程式については,相平面における解析より,解が発散するタイプ・相似な多角形で表される保存則を有するタイプ・特定の点に落ち込むタイプ・多角形に漸近するリミットサイクルタイプ・ある領域でカオティックになるタイプなど,基本的なタイプに分類することに成功し,解の振る舞いについての解析手法を一定の手続きにまでまとめることができた.
さらに,四則演算をベースとする差分の力学系について,従来の可積分な差分方程式に一定の修正を施すことより,リミットサイクルを有するような近可積分系を提案することに成功した.この系のリミットサイクルは,元の可積分方程式の保存量によって表される軌道のひとつとなっており,リミットサイクルを明示可能という顕著な特徴を有している.また,保存量自体がリャプノブ関数の役割を果たしており,可積分的な手法が近可積分系においても通用するという非常に重要な知見を得ることができた.
さらに,この差分力学系は超離散化可能であり,超離散方程式のレベルでもリミットサイクルを有している.また,この方程式を多次元化することにより,超離散化可能な反応拡散系を得ることができた。これらの点についてはまだまだ未解明な点があり,来年度の研究による進展が望まれる.
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