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平成15年度においでは、群の可解部分群たちのなす部分群束の構造の研究を進めることが出来た。この部分群束に関連する一般バーンサイド環の構造を明らかにすることによって、例えば、一般素数グラフの一つである可解グラフの連結性を有限単純群の分類を用いずに示すことが可能になった。この命題は、有限群論において極めて基本的なものであったが、今まで有限単純群の分類という未だに完全に出版されていない結果に拠らないでは証明できない状態であった。この命題の系として、部分群束の連結性、それに対応する通常のバーンサイド環の連結性等が直ちに従う。このような一般バーンサイド環と部分群束の構造の関連を捕まえることにより、群指標の古典論である例外指標の理論との直接的な糸口が見え初めてきた。部分群束を考察するだけでは、例外指標の理論の非べき零部分群に対する応用を考えるのが難しいことが分かってきた。部分群内の要素のフュージョン状況を調べるには、情報が得られにくい形になっているのである。そこで全ての部分群の既約指標からなる集合に半順序を導入し、その一般バーンサイド環Rと、全ての部分群の共役類からなる集合のなす半順序集合に対する一般バーンサイド環Rの二つの環を考えてやることでうまく処理できる可能性を見いだした。これらの環は、指標のフュージョンと要素のフュージョンを考察し続けた現代までの群論の論法を一体化したものと考えることが出来よう。以上のことについてのレポートは平成16年度にまとめる予定である。
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