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写象類群に対するGrothendieck-Riemann-Rochの定理の、整係数コホモロジーにおける類似(整係数Riemann-Roch公式)を証明すること、その応用として写像類群の整係数コホモロジーの構造を解明することを目的として研究を進めた。今年度はとくにDyer等による位相的Riemann-Roch公式の、写像類群のコホモロジーへの応用を中心に研究を進め以下の結果を得た。
1.mod p森田-Mumford類上のコホモロジー作用素(Steenrod作用素)を完全に決定した。結果を予想する上で計算機による数式処理が有効であった。
2.1の結果を用いてmod p森田-Mumford類が消滅するための十分条件を複数得ることに成功した。この結果は整係数Riemann-Roch公式が成り立つことの肯定的証拠と見なすことができる。
3.1の結果とKummerの恒等式を組み合わせることにより、Grothendieck-Riemann-Rochの定理のmod pコホモロジーにおける類似を多くの場合に証明した。この結果は整係数Riemann-Roch公式の証明へ向けての重要なステップと考えられる。
また(一般化された)Dehn-Sommerville方程式の応用として、偶数次元閉多様体の単体分割における単体の個数に関する等式を証明した。具体的には多様体のEuler数を単体の個数であらわす(普通のものとは異なる)等式を得た。この等式は以前に代表者がreflection orbifoldのEuler数の考察を用いて証明した等式の著しい一般化にあたる。
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