| 研究概要 |
昨年度までの研究に引続き,射影的代数多様体の幾何学的不変式論の意味における安定性と定スカラー曲率Kahler計量の存在とが同値になるという予想,いわゆる「偏極代数多様体に対する小林・Hitchin対応」を中心に研究した.この予想をFano多様体と呼ばれる,反標準直線束が豊富な射影的代数多様体の場合に考えると,安定性とEinstein・Kahler計量の存在の同値性の問題となる.この観点から,TianはFano多様体に対してK安定性とCM安定性という二種類の安定性を導入し,Fano多様体がEinstein・Kahler計量を持つとき,K安定にもCM安定にもなるということを示した.
今年度の研究では,Tianにより導入された二種類のFano多様体に対する安定性(K安定性とCM安定性)の関係について詳しく考察した.その結果,K安定性やCM安定性の定義を少し適当に変更してやることにより,ある仮定の下でこの二つの安定性は同値な条件であることがわかった
また,トーリック多様体と呼ばれるある種の対称性の高い多様体の超曲面において,その二木指標について詳しく考察した.ここで二木指標はEinstein・Kahler計量の存在に対する障害として二木により導入された正則自己同型群の指標であり,K安定性と深い関係を持つものである.その結果,同変Chow群(または同変コホモロジー群)を用いて,トーリック多様体の超曲面の二木指標及びその一般化である板東・Calabi・二木指標は具体的に計算できることが解った.
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