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「ミラー対称性とグロモフーウィッテン不変量の導来圏の幾何学よる研究」のため、本年度は連接層の導来圏およびその対象のモジュライ空間による「平坦構造の理論」の記述を中心に研究を行ってきた。とくに弦双対性における「Dブレーン」の観点に注目し、次のような成果・知見を得た。
1 複素射影空間のような"よい"ファノ多様体に対しでは、ドゥブロビン・ギーベンタールによる「量子コホモロジーの再構成定理」が成り立つ。この定理によれば、量子コホモロジーおよびグロモフ・ウィッテン不変量は導来圏の三角圏としての情報から得られることが期待される。これまでの研究により、カラビ・ヤウ多様体の場合にも導来圏とグロモウ・ウィッテン不変量が密接に関係することがわかっている。そこで導来圏に対する「安定性の空間」を考察し、そこに直接「平坦構造」を構成することを目標に研究を行ってきた。楕円曲線、アーベル曲面、K3曲面の場合、導来圏に対する「安定性の空間」に、「平坦構造」さらにはそれに「実構造」を追加した構造を与えられることがわかった。しかし残念ながら「平坦構造」が「自然に」導かれることは示すことはできていない。現在はこの問題を中心に研究を行っている
2 「平坦構造」は純粋に正則な対象のみを用いて定義されている。一方で、「原始形式の周期写像」を考えるという観点、および「平坦構造」は「ホッジ構造」の一般化であるという観点から、「平坦構造」に自然な「実構造」を追加した概念が必要であると考え、その研究を行っている。これは1.の導来圏の「安定性の空間」に「自然に」現れると期待される、非常に重要な研究対象である。階数が2の「平坦構造」の「実構造」の分類を行い論文としてまとめた。そして計量が低空間全体で正定値となる「実構造」に関する予想を与えた。現在この予想を解決することを目標に研究を行っている。
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