| 研究概要 |
申請者は,これまでの研究において,同一の閉曲面の2つの四角形分割がある局所的変形で移り合うかどうかを議論している.この研究において,閉曲面Fに四角形分割Gを固定すると,FのZ_2-ホモロジーの元(サイクルパリティーと呼ぶ)が定まることがわかり,2つの四角形分割が局所的変形で移りあうためには,このサイクルパリティーが等しいことが本質的であることがわかった.一方,閉曲面の偶三角形分割にも,四角形分割のサイクルパリティーと同様に,基本群からS_3への準同型写像で、2つの偶三角形分割がある局所的変形を用いて移り合えば,その写像が等しくなるようなものが定義できることもわかっていた.
平成15年度の研究において,閉曲面の偶三角形分割(各頂点の次数が偶数の三角形分割)に対して,N-変形と呼ばれる変形を定義し,「球面の2つの偶三角形は,そのβ部グラフとしての部集合の大きさがそれぞれ等しければ,N-変形で互いに移り合う」ことを証明することができた.これは,まさに研究計画において期待していたものであり,この理論体球面以外の閉曲面にも拡張できることが見込まれている.
代数的には四角形分割の場合と全く同様の議論ができることが予想されるが,グラフマイナー理論などがうまく使えないこともあり,偶三角形分割ならでは議論の必要性も見受けられる.まだ,偶三角形分割のホモロジー的性質に関して知られていることは少なく,これらの研究の進展については来年度以降の研究に期待したい.
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