| 研究概要 |
主G束のゲージ群はその主束の随伴束の切断全体のなす群と同一視され,ゲージ群を空間として局所化したものは,その随伴束をファイバーワイズに局所化したものの切断全体のなす空間とみなすことが出来る.したがって随伴束及びそのファイバーワイズな局所化の構造を理解することはゲージ群のトポロジーを調べるために重要である.
Crabb等は普遍随伴束をファイバーワイズに有理化したものはファイバーワイズホップ空間として自明であることを示した.私は京都大学の河野氏と共同でこの別証明を与えた.また底空間がコンパクトである場合には随伴束は十分大きな素数Pでファイバーワイズに局所化するとファイバーワイズホップ空間として自明であることを示し,構造群がP正則である場合には,随伴束をファイバーワイズにPで局所化したものがファイバー空間として自明になるための底空間の次元についての十分条件を与えた.さらに随伴束の自明性と構造群の高位ホモトピー可換性は密接な関係がありこれについても調べた.以上の研究はpreprint "Notes on the triviality of adjoint bundles"としてまとめたが,現在もなお研究を継続中である.
ゲージ群の分類空間に関しては,4次元スピン多様体上の主Sp(n)束のゲージ群の分類空間のmod2コホモロジー群を計算し,さらにその手法及びK理論を利用してS^4上の主Sp(1)束のゲージ群の分類空間のmod2コホモロジーの環構造の,多項式環の剰余環としてのある表示を与えた.この系として,環構造はインスタントン数が奇数,mod4で2,mod4で0のいずれであるかで決まり,これら3つは同型ではないという興味深い結果を得たが,さらなる研究を継続中である.
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