代数的符号理論と格子、組合せデザイン、および量子符号への応用

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14740060
• 研究機関: 山形大学
• 研究代表者: 原田 昌晃 山形大学, 理学部, 助教授 (90292408)
• キーワード: 符号理論 / 自己双対符号 / 格子 / デザイン / アダマール行列

研究概要

今年度は、組合せデザイン、特にアダマール行列の研究とユニモジュラー格子の研究を自己双対符号を通して行なった。
1.アダマール行列と自己双対符号:
アダマール行列の満たす直交性から自己双対符号と深く関係することはよく知られている事実である。今年度に新たに行なった研究の一つは、素数位数pの自己同型をもつ位数2p+2のアダマール行列を深く調べたことである。一般的な結果に加えて、p=19と23のときに全ての上の性質をもつアダマール行列の分類を行なった。これらに関係した自己双対符号の考察も行なった。この研究は1980年代にV.D. Tonchevを中心に行なっていた研究の拡張になっている。
さらに、同値を除いて5つある長さ32の極値的重偶自己双対符号の全てが位数32の(2元)アダマール行列から構成されることを実例を挙げることによって証明した。これはAssmus-Keyによって書かれた本「Designs and Their Codes」の中で今後すべき一つの問題として挙げられていたことである。
2.ユニモジュラー格子と自己双対符号:
今年度は48次元に着目してユニモジュラー格子と2元自己双対符号の研究を行なった。特にシャドウおよびネーバーという2つの重要な概念を通しての研究を中心的に行なった。例えば、シャドウの最小重さが4である極値的自己双対符号と極値的重偶自己双対符号の存在が1対1であることを示した。この結果を用いて上の性質をもつ極値的自己双対符号の分類を行なった。同じようなことがユニモジュラー格子でも成り立つことも確認した。
どの結果も論文を作成して審査の為に投稿中であるかまたは現在論文を作成中である。

研究成果

• [文献書誌] M.Harada, V.D.Tonchev: "Self-orthogonal codes from symmetric designs with fixed-point-free automorphisms"Discrete Mathematics. 264. 81-90 (2003)
• [文献書誌] M.Harada, M.Kitazume, M.Ozaki: "Ternary code construction of unimodular lattices and self-dual codes over Z_6"Journal of Algebraic Combinatorics. 16. 209-223 (2002)
• [文献書誌] M.Harada, P.R.T.Ostergarch: "Classification of extremal formally self-dual even codes of length 22"Graphs and Combinatorics. 18. 507-516 (2002)
• [文献書誌] M.Harada, M.Kitazume: "Z_6-code constructions of the Leech lattice and the Niemeier lattices"European Journal of Combinatorics. 23. 573-581 (2002)
• [文献書誌] D.B.Dalan, M.Harada, A.Munemasa: "On Hadamard matrices of order 2(p+1) with an automorphism of odd prime order p"Journal of Combinatorial Designs. (発表予定).
• [文献書誌] M.Harada: "External odd unimodular lattices in mimensions 44, 46 and 47"Hokkaido Mathematical Journal. (発表予定).