| 研究概要 |
昨年度に引き続き流体運動に現れる特異点の複素時間での振る舞いについて調べた。Costantin-Lax-Majda方程式は三次元Navier-Stokes方程式のモデルとして提唱されたものである。私はこの方程式の数学解析によって有限時間で爆発する解と時間大域的に存在する解の複素時間領域における特異点の分布の違いについて調べた。その結果、特異点は連続的な特異点分布をしており、渦層の方程式と同様であることがわかった。また、一方でCLM方程式解の一意性については、この分布を考慮することによって特異点生成以後の解をうまく定義することができることもわかった。このことは複素時間特異点の分布からその先の解の挙動を何らかの意味で定義できることを示唆している。この結果はNonlinearity,および数理解析研究所講究録の発表済みである。
次ぎに渦膜の数値計算にとりかかり、現在も進行中である。まず渦膜における複素特異点の検出を行っているが、二次元渦層の場合と異なり特異点の性質が不明であり、現在のところ特異点の数値的検出が思うようには進んでいない。精度も足りないようである。この数値計算は来年度も継続する予定である。
このような事情から本年度は少し問題を前に戻して、渦膜と渦層との違いをもう少しはっきりさせるため、球面の渦層における運動と渦膜における運動の特異点構造を中心とした比較を行った。球面の上の渦膜は地球流体との関連でよく調べられているので球面上の渦層との比較に応じて運動の違いを論じた。この結果渦の安定性などや長時間発展では渦膜界面と渦層の間に構造の違いが見えた。来年度はこの違いを特異点生成という観点から見つめ直す予定である。
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