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代数的な組合せ構造をグラフに表現したものの多くは距離正則という強い正則性を満たしている。
また、グラフの部分グラフと元の代数構造の部分構造の間には密接な関係がある。
本研究では距離正則グラフの部分構造を取り出すことにより、距離正則グラフの構造を解き明していくことを最終目標としていた。本研究によって得られた成果は大きく分けて、次の2つのである。
(1)regular near polygonというクラスの距離正則グラフ
「次数kである距離正則グラフは高々有限個しか存在しない。」という未解決の予想(坂内-伊藤予想)がregular near polygonと呼ばれる距離正則グラフのクラスにおいては部分的な解決が得られた。
また、全体的な解決への道筋が得られた。この全面的な解決へ向けて、研究を継続している。
(2)距離正則グラフの構造の研究
距離正則グラフの研究は主にそれを表現した行列や、それが生成する代数の研究が中心であり、構造自体に踏み込んだ研究はあまりなされていなかった。
本研究では、そこに踏み込んで新しい結果をことに成功した。
基本点を連続的に動かすことによって、部分構造はどのようにふるまうか?というこれまでにはなかった手法の開発やある特殊な部分構造を数え上げる手法によって、いくつか強い条件が得られた。
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