| 研究概要 |
以下k, pを正整数とし,Gをループや多重辺のない有限単純グラフとする.Gの非隣接2点の次数和に着目した結果として次の2つの定理がある.
定理A Gを位数n【greater than or equal】3のグラフとする.任意の非隣接2点x, yに対し,deg_G+deg_Gy【greater than or equal】nならばGはハミルトンサイクルをもつ.
定理B kを正整数,Gを位数n【greater than or equal】4k-5,kn偶数,最小次数k以上のグラフとする.任意の非隣接2点x, yに対し,deg_Gx+deg_G【greater than or equal】nならばGはk-因子をもつ.
次にGにおいて"次数和がp以上の非隣接2点を結ぶ"という変形Pを考える.この変形Pに関して次の定理がある.
定理C Gを位数n【greater than or equal】3のグラフ,x, yをdeg_Gx+deg_Gy【greater than or equal】nなる非隣接2点とする.Gはハミルトンサイクルをもつための必要十分条件はG+xyがハミルトンサイクルをもつことである.
連結性を考慮しない一般のk-因子については,グラフGにおいて,x, yを任意の非隣接2点としたとき,G+xyにk-因子があるが,Gにはk-因子がないグラフが存在するため,定理Cに対応する定理は存在しない.そこで,Gに変形Pをできるだけ繰り返し施し,得られたグラフcl_p(G)を考える.cl_p(G)とGのk-因子の存在との関係について,今回次の定理が得られた.
定理1 k, nを正整数としknは偶数とする.Gを位数の適当に大きい,|G|=n,最小次数k以上のグラフとする.cl_<n+k-2>(G)=K_nならばGはk-因子をもつ.
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