代数的符号理論における符号の一般化最小重みに関する研究

2002 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 14740089
• 研究機関: 龍谷大学
• 研究代表者: 城本 啓介 龍谷大学, 理工学部, 助手 (00343666)
• キーワード: 線形符号 / 一般化ハミング重み / マトロイド / 有限環 / 限界式 / Tutte多項式

研究概要

当初の計画に基づいて、本年度は代数的符号理論における符号の一般化最小重みについての基礎的研究を行った。具体的には、以下の通りである。
1.有限環、特に整数剰余環上の線形符号に対して、符号の階数を用いてベクトルのリー重みを一般化した一般化リー重みを定義し、その重みに関するシングレトン型とGriesmer型の様々な限界式を証明した。また、それらの限界式に関して等号を成立させる符号の性質の解析・具体的構成法を提案した。さらに、一般化リー重み分布を表す重み多項式を定義し、双対符号との関係を表すマックウィリアムズ型の恒等式を証明した。特に、4元整数剰余環上のReed-Muller符号に関しては、一般化リー重み分布を決定した。
2.一般化ハミング重みに関する一般化シングレトン限界式の等号を満たす符号として一般化MDS符号がある。本研究においては、その符号をマトロイド理論を用いて構成する手法を提案し、様々な具体例の計算を行った。具体的研究手法としては、行列から作られる一般化pavingマトロイドの双対性を利用して、対応する符号のパリティ検査行列と生成行列との関係から構成法及び一般化ハミング重みの分布の考察を行った。また、一般化MDS符号の重み多項式とそのパリティ検査行列から構成される一般化pavingマトロイドのTutte多項式の関係からその符号の符号長に関する限界式を証明した。これらのすべての結果は、既に知られているMDS符号の結果を一般化しているものであることも同時に証明できた。

研究成果

• [文献書誌] Keisuke Shiromoto: "A construction of g-th MDS codes from matroids"Proceedings of ACCT2002, the Eighth International Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory, Russia. 228-231 (2002)
• [文献書誌] Keisuke Shiromoto: "A Griesmer bound for codes over finite quasi-Frobenius rings"Discrete Applied Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] Steven Dougherty: "Maximum distance codes in Mat_<n,s>(Z_k) with a non-Hamming metric and uniform distributions"Designs, Codes and Cryptography. (発表予定).
• [文献書誌] Keisuke Shiromoto: "On g-th MDS codes and matroids"Lecture Notes in Computer Science. (発表予定).
• [文献書誌] Keisuke Shiromoto: "On generalized Lee weights for codes over Z/4Z"京都大学数理解析研究所講究録「代数的組合せ論」. 1299. 51-56 (2003)
• [文献書誌] Keisuke Shiromoto: "g-th MDS codes and matroids"第19回代数的組合せ論シンポジウム報告集(熊本大学). 192-199 (2002)