| 研究概要 |
非線形シュレディンガー方程式iu_tΔu+|u|^<p-1>u=0 (t,x)∈R×R^n,のスピンをもつ高エネルギー定常波の安走性を研究した。高エネルギーの定常波解は空間次元が2次元以上の時にあらわれ、米ファーバー中を伝わるレーザー光の研究においても活発に研究されている。エネルギーの最も低い定常波解の安定性に関しては1980年代から既に多くの結果が得られており、1<p<p_c=1+4/nならば安定、p【greater than or equal】p_cならば不安定性になることが知られている。私は、極座標で表すと、e^<imθ>w(r)(m∈N)9形で表される結節線を持たない2次元の定常波に定常波解と同じスピンをもつ摂動を初期値に加えるとp>p_c=3の場合に不安定であることを示した同種の結果は球対称解の場合にGrillakis(1988)によって示されているが、その方法はスピンが0でない場合には定常波解の周りでの線形化作用素に特異性が生じるために適用できない。私はPego-Weinstein(1992)がKdV方程式などの1次元モデルの場合に解析したようにEvans函数を使って定常波解の不安定性を示した。実はw(r)はある2階の楕円型方程式の正値球対称解であるが、計算の過程でEvans函数の挙動には方程式の非線形項の次数と正値球体紹介の構造の2つの要素が影響することを見つけた。1次元モデルでは方程式の非線形項の次数のみによって決まるので、この点が従来の結果と異なる点である。また高エネルギーの定常波解の安定性の研究は球対称な定常波解を除き殆どなく、その点が目新しいと思っ下いる。
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