| 研究概要 |
本研究では、相似変換に関して不変な非線形偏微分方程式に対して、その特性がどのように解の振る舞いおよび解構造に反映されるかという観点から考察を行った。とくに今年度は、半線形熱方程式の自己相似解の解構造および非線形常微分方程式の2点境界値問題の解の多重存在性について重点的に考察を行った。
半線形熱方程式の自己相似解は、適当なスケール普遍性から、ある特異な初期関数をもつCauchy問題の可解性と密接に関連することが知られているが、ここでは、その初期値問題の解の存在について議論を行った。とくに自己相似解の形状関数が、ある半線形楕円型偏微分方程式を満たすことに注目した。まず、supersolution-subsolution法によりあるパラメータの範囲で正値最小解が存在することを示した。次に、その解における線形化方程式の固有値問題を考察することとある重み付き関数空間を導入することにより,second solutionの存在性に対する変分的手法が可能であることを明らかにすることができた。さらに、非線形項が劣臨界的な指数増大度を持つ場合には、Ambrosetti-BrezisのMountain Pass理論を適用することにより、解が少なくとも2つ存在することを示すことができた。
また、2階非線形常微分方程式に対する2点境界値問題の解の多重存在性に関する考察においては、shooting methodとSturumの比較定理を駆使することにより、ちょうど与えられた個数の零点を持つ解が存在するための、非線形項の0と無限近傍の挙動に関する詳細な条件が得られた。これらの結果を様々な問題に適用することにより、新しい結果が得られると共に、既に得られている結果の統一的な見解を得ることもできた。
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