| 研究概要 |
我々の研究では,Porous Medium方程式(u_t=(u^m)_<xx>、m=1の時は熱方程式となる)を解析し,この分野の専門家の間では予想されていたものの,長い間未解決問題として残されてきた次の問題:「問題1:C^∞級の時間局所解が存在するか」と,「問題2:解u(x, t)のinterface:ζ(t)=sup{x, u(x, t)>0}が増加し始める時刻」を明らかにしていくことを基本的目的としている。既にこれまでの我々の研究において,空間1次元の場合,Porous Medium方程式やPorous Medium方程式を一般化したGeneralized Porous Medium方程式(u_t=(g(u))_<xx>),更に非線形性を強めたdoubly nonlinear方程式(u_t=(g(u, u_x))_x+f(u, u_x))には,問題1の答えとして「C^∞級の時間局所解が存在する」ことが証明され,問題2についても,ζ(t)が増加し始める時刻の下界の一つが与えられている。そこで,今回の研究期間に置いては空間1次元に限られている我々の研究を空間多次元に拡張しようという試みた。これには膨大な計算を伴うが,3次元空間で生きている我々の実社会での応用を可能とするために,空間多次元への拡張は意義のあるものである。また,空間1次元の場合の証明の中で我々が開発した「L^∞エネルギー評価法」は空間多次元の場合にも有効であることを確認することも意義のあることである。以上の理由で「L^∞エネルギー評価法」を用いて,空間多次元の場合に「C^∞級の時間局所解の存在を示す」という研究に取り組んだ結果,
(i)問題1を空間1次元の場合の証明の中で我々が開発した「L^∞エネルギー評価法」を用いて問題1を空間多次元の場合に証明した。
(ii)更にblow-upの問題に取り組んだ。
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