| 研究概要 |
画像復元問題で用いられる射影法は、問題に応じ複数の制約を課し、凸制約を組み合わせることで、適当な充足可能解を求めるものであり、再構成超解像問題等へ幅広く用いられている。本研究は画像復元問題を始めとする逆問題の解法を研究代表者らにより導かれた「非拡大写像の不動点定理」に基づいて構成するものである。平成15年度の成果は次の通りである。
1.充足不能な問題は、必ず満たす必要がある、優先度の高い制約が複数ある場合、これまで扱いが困難であった。この問題を1で述べた拡張された不動点定理に基づき解消した。提案法では非拡大写像と目的関数の新しい構成法を与えることで、制約付き最適化問題の解を制約に持つ制約付きの2重の最適化問題の解法である2重射影勾配法を与えている。これはこれまで広く研究されている非拡大写像の不動点定理の新しい応用への道を拓くのみならず、広く知られた射影勾配法の一般化を与えるものである。
2.応用上重要である2次関数で表される目的関数を扱う場合、2次不等式の勾配に1の結果を適用する必要があるが、このとき収束の要件を満たすために細かいステップサイズをとる必要があり収束速度を向上する上で障害となる。そこで基になる不動点定理自体を拡張し劣勾配を含むquasi-非拡大写像へ適用可能とすることで、この障害を解消した。
3.耐ノイズ性能に優れ、画像の様に定常性が仮定出来ない場合でも、高速に収束する、充足可能性問題の解法を与えた。本解法は、制約集合との分離超平面を用いることで、応用上とりわけ重要な2次不等式で与えられる制約に対して、最適分離超平面を計算ことを可能とし、収束速度を決定付ける主要な要素であるステップサイズを従来標準的に用いられてきた劣勾配射影を用いる方法と比べ最大2倍にすることを可能にした。
なお、上の1は学術誌に掲載決定済み2,3は投稿、発表準備中である。
|
