| 研究課題/領域番号 |
14J00422
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
中嶋 祐介 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC2)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-25 – 2016-03-31
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| キーワード | 不変式環 / フロベニウス写像 / dual F-signature / Auslander-Reitenクイバー / Ulrich加群 |
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| 研究実績の概要 |
正標数の可換環に対してはフロベニウス写像と呼ばれる正標数の世界特有の写像が定義でき、その写像を用いてフロベニウス直像と呼ばれる加群が定義される。 正標数の可換環の性質をこの加群の構造を通じて理解することはひとつの大きな目標であり、特にフロベニウス直像の中にどんな加群が現れるか調べることは重要である。本年度の研究では主に有限群の作用に関する不変式環（商特異点）のフロベニウス直像を具体的に調べた。商特異点の場合にはフロベニウス直像の中に出てくる加群は作用させる有限群の既約表現と１対１に対応することが知られており、２次元の場合にはフロベニウス直像が極大Cohen-Macaulay (= CM)加群のなす圏の加法生成加群となっている。この圏の構造はAuslander-Reiten (= AR)クイバーと呼ばれる有向グラフで記述されるため、このクイバーを用いてフロベニウス直像の性質を考察した。特に上記の考察から正標数の世界における不変量であるdual F-signatureやHilbert-Kunz重複度の値を決定し論文を執筆した他、国内外の研究集会で発表を行った。
上記研究でのARクイバーを用いた手法を応用すると、前述した不変量だけでなく、極大CM加群の極小生成系の個数を求めることができる。この考察によりUlrich加群と呼ばれる極大CM加群のクラスを扱うことが可能となった。特に2次元巡回商特異点の場合について日本大学の吉田健一氏と共同研究を行い、Ulrich加群の特徴付けを与えることに成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Dual F-signatureと呼ばれる正標数の可換環論の世界における不変量の値を有理二重点上のすべての極大Cohen-Macaulay加群に対して完全に決定することが出来た。また、そこで用いた手法を応用するとUlrich加群という加群のクラスを扱うことができることがわかり、当初は予想していなかった方向へも研究の幅を広げることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究では有限群の作用に関する不変式環（商特異点）を主に扱っていたが、今後はトーリック環などの他の対象についても研究を進めていく。商特異点の場合にはCohen-Macaulay表現論の視点からのアプローチが有効であったため、他の対象に対しても同様の視点から取り組んでいくことを考えている。
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