| 研究課題/領域番号 |
14J01305
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
藤田 健人 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-25 – 2017-03-31
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| キーワード | ファノ多様体 / 極小モデル理論 / K-安定性 / ケーラー・アインシュタイン計量 / 向井予想 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、ファノ多様体という「膨らんだ」代数多様体の研究を目的としている。より具体的には、（一般には特異点を持つ）ファノ多様体を、安定性や有界性等の興味の下、極小モデル理論の観点で考察している。今年度は特にファノ多様体のK-安定性を中心に研究を進めてきた。
ファノ多様体がK-安定であることと、ケーラー・アインシュタイン計量の存在が同値であることが近年Chen-Donaldson-SunおよびTianによって示された。それゆえ微分幾何・代数幾何の両者からのアプローチで多くの研究がなされている。私は今年度、Berman氏によって導入された「Gibbs安定性」からK-安定性が導出されることを純代数的に証明した。Berman氏自身「強Gibbs安定性」の下ケーラー・アインシュタイン計量の存在を導出しているが、これの単なる代数的言い換えというわけでなく、より強い主張をしている。この「Gibbs安定性」はK-安定性に比べ判定がし易いように思われ、さらに上記定理の証明も「Mustataの加法性定理」と呼ばれる乗数イデアル層の深い理論を使用しており、非常に興味深い。現在は上記定理の逆（及びその類似）の研究を進めている。また、今年度は「因子的安定性」というK-安定性の良い必要条件も考案した。この「因子的安定性」は、ファノ多様体がトーリック多様体ならばK-安定性と同値な概念で、K-安定性に非常に近く、それでいて判定しやすい有用なものだと思われる。この結果は現在論文準備中である。
また、ファノ多様体のピカール数の評価に関する「向井予想」についても研究している。今年度はこの向井予想を少し拡張した予想を提示し、特別な場合にそれが正しいという論文を発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
K-安定性の良い十分条件、良い必要条件を得ることができたことは非常に大きい。今年度は「Gibbs安定性」についてあまり具体例を見ることができなかったので、来年度以降は具体例へのアプローチ、例えば非特異3次元ファノ多様体に関して応用してゆきたい。また、向井予想の拡張に関する論文を発表することができたことも特筆すべき点であり、来年度以降も継続してこの予想にも取り組んでいきたい。
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| 今後の研究の推進方策 |
ファノ多様体のK-安定性は、定義を見ただけでは判定するのが非常に困難な概念である。故にK-安定性のうまい言い換えを模索することは重要である。ただ、いきなりうまい必要十分条件を見つけるのは困難だと思われる。Tian氏によるデルペッツォ曲面（2次元ファノ多様体）に関するケーラー・アインシュタイン計量の存在問題の解決もそうだったように、「うまい十分条件」及び「うまい必要条件」を別個に見つけて具体的な対象にアプローチするのが現実的ではないかと思われる。まず、「Gibbs安定性」を簡単なファノ多様体に対し実際に確かめたい。また、今年度導出した「因子的安定性」は応用上有用だが、K-安定性と同値ではないことも分かっている。その為、新たな（有用な）K-安定性の必要条件（うまくいけば必要十分条件）も模索していこうと思っている。大雑把には、有限生成とは限らない代数を如何に有限生成なものの極限として理解するか、という視点で考えている。これにあたり極小モデル理論のテクニックは有用なのではないかと思っており、研究を進めている。
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