| 研究課題/領域番号 |
14J01306
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
飯島 優 京都大学, 数理解析研究所, 特別研究員(DC2)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-25 – 2016-03-31
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| キーワード | 外ガロア表現 / グロタンディークタイヒミューラー群 / 曲線のモジュライの普遍モノドロミー表現 |
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| 研究実績の概要 |
当該年度は基本群への外ガロア表現の研究について二つの研究成果を得た。一つは研究実施計画に記載した星裕一郎氏と望月新一氏の組み合わせ論的遠アーベル幾何の枠組みの下で定義された双曲的曲線の幾何的基本群の外部自己同形群のある部分群からグロタンディークタイヒミューラー群への全射が切断を持つかという問題を肯定的に解決することができた。これは有理数体上の双曲的曲線のモジュライの基本群から有理数体の絶対ガロア群への自然な全射が常に分裂することの類似とみなすことができ、グロタンディークタイヒミューラー群が有理数体の絶対ガロア群に似た性質を持つことを示す重要な例を与えている.
二つ目に、双曲的曲線に付随する副l外ガロア表現の像が、基礎体が数論的に弱い仮定を満たす場合(代数体やl進局所体はこの仮定を満たす)に、l進リー群にならないことを示すことができた。特に、この場合、双曲的曲線に付随する副l外ガロア表現の核に対応する体は基礎体上l進リー拡大にならないことがわかる。また、この結果は副l外ガロア表現とl進ガロア表現との違いを明示的に表したものと捉えることができる。また、この結果を用いて、曲線のモジュライの副l普遍モノドロミー表現の像が、ほとんどの場合、l進リー群にならないことを示すことができた。これは基本群への外ガロア表現の研究の幾何学的応用とみなすことができる。さらに、これらの結果のある副Σ版(Σは任意の素数の集合)も示すことができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実施計画で目標の一つとしていたグロタンディークタイヒミューラー群に関するある切断を構成することができたため。また、双曲的曲線に付随する副l外ガロア表現の核に対応する体が基礎体上どのような拡大になっているかについても成果を得ることができたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は曲線のモジュライの普遍モノドロミー表現の像が、双曲的曲線の幾何的基本群の外部自己同形群のどのような部分群になっているのか調べ、グロタンディークタイヒミューラー群が普遍モノドロミー表現の像に作用するかを考察していきたい。また、双曲的曲線に付随する副l外ガロア表現の核に対応する体の構造をより精密に理解することも今後の重要な研究課題である。
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