| 研究実績の概要 |
1.associative部分多様体の2次変形の研究
G2構造を持つ7次元多様体の重要な部分多様体のクラスにassociative部分多様体がある。特にG2構造がnearly parallel G2構造のとき、その錘はSpin(7)多様体になりassociative部分多様体はCayley錘部分多様体になる。これは特異点の研究に重要である。
nearly parallel G2構造を持つものの代表例は7次元球面である。その等質associative部分多様体はJ.Lotay氏により分類されている。以前の研究で、A3と呼ばれるもの以外の無限小変形は非障害的であることを示した。A3は他の幾何からは現れないnearly parallel G2幾何特有の対象ゆえ、その変形を捉えるのは難しい。
本年度は、その研究を更に発展させることができた。まず、一般の状況でassociative部分多様体の無限小変形が、2次まで非障害的になるための具体的な必要十分条件を導いた。そしてその応用として、表現論を用いてA3の無限小変形は2次まで非障害的であることを示した。
2. Frolicher-Nijenhuis bracketを用いたG2, Spin(7)多様体の研究
Frolicher-Nijenhuis bracketの導入には、Nijenhuis-Lie微分を用いる。幾何構造が可積分なとき、この2乗は0となりコホモロジーが定義できる。複素多様体の場合には、それはdc 作用素に一致しそのコホモロジーはde Rham コホモロジーに同型である。H.V.Le氏、L.Schwachhofer氏との議論により、G2, Spin(7)多様体の場合にこのコホモロジーを研究し、その構造を決定した。いくつかの場合は通常のコホモロジーに一致し、またあるときは無限次元になることを示した。
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