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2014 年度 実績報告書

3次元双曲多様体の体積に関する研究

研究課題

研究課題/領域番号 14J08980
研究機関東京大学

研究代表者

吉田 建一  東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC2)

キーワード3次元双曲多様体 / 幾何学的群論
研究実績の概要

3次元多様体の研究においては基本群が重要な位置を占める。とくに有限体積3次元双曲多様体は基本群から決まることが知られている。これをふまえて一般の群から双曲体積のような不変量が得られるかどうかについて考えた。
有限表示群の表示の長さの最小値として定まるpresentation lengthという不変量がDelzantによって導入されている。また、Delzantはorbihedronとなる2次元複体について考えることにより相対的なpresentation lengthも導入し、群の分解における振る舞いを調べている。さらに, 3次元双曲多様体の体積は基本群のpresentation lengthのπ倍で上からおさえられることがCooperによって示されている。
有限位数部分群をとると位数倍になるようにpresentation lengthに安定化を施すことによって、stablepresentation lengthという不変量を導入した。3次元多様体の基本群のstable presentation lengthは単体体積の定数倍で上下からおさえられ、単体体積と同様に連結和分解やJSJ分解における加法性をみたすことを示した。この加法性を示すために、residually finiteな群のstable presentation lengthは階数2以上の自由アーベル群を相対的部分に置いても変わらないことを示した。
3次元多様体の四面体分割における四面体の最小数を安定させて得られるstable complexityも単体体積と同様の加法性をもつことがFrancaviglia-Frigerio-Martelliによって知られている。Stable presentation lengthとstable complexityはとくに密接な関係があると予想している。四面体分割を直接扱うことの困難性を幾何群論的手法によって置き換えられるようになることが期待される。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

stable presentation lengthという群の不変量を導入し、3次元多様体の基本群のstable presentation lengthが単体体積と類似の性質をもつことを示すことができた。

今後の研究の推進方策

Stable presentation lengthの深い性質について追究する。とくに、ホモロジーのねじれ部分との関連について考察する。これは、3次元双曲多様体の1次ホモロジーのねじれ部分の位数を有限被覆によって安定させた極限が体積に比例するという予想につながっている。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2015 2014

すべて 学会発表 (6件) (うち招待講演 3件)

  • [学会発表] Stable presentation length of 3-manifold groups2015

    • 著者名/発表者名
      吉田建一
    • 学会等名
      火曜トポロジーセミナー
    • 発表場所
      東京大学(東京都目黒区)
    • 年月日
      2015-01-13
    • 招待講演
  • [学会発表] (1) The minimal volume orientable hyperbolic 3-manifold with 4 cusps (2) Stable presentation length of 3-manifold groups2014

    • 著者名/発表者名
      吉田建一
    • 学会等名
      Topology Seminar
    • 発表場所
      カリフォルニア大学バークレー校(アメリカ・バークレー)
    • 年月日
      2014-11-05
    • 招待講演
  • [学会発表] 3次元多様体の基本群の安定表示長について2014

    • 著者名/発表者名
      吉田建一
    • 学会等名
      FMSP Student Session
    • 発表場所
      玉原国際セミナーハウス(群馬県沼田市)
    • 年月日
      2014-09-02
  • [学会発表] The minimal volume orientable hyperbolic 3-manifold with 4 cusps2014

    • 著者名/発表者名
      吉田建一
    • 学会等名
      Hyperbolic Geometry and Geometric Group Theory
    • 発表場所
      東京大学(東京都目黒区)
    • 年月日
      2014-07-31 – 2014-08-04
    • 説明
      (ポスター発表)
  • [学会発表] The minimal volume orientable hyperbolic 3-manifold with 4 cusps2014

    • 著者名/発表者名
      吉田建一
    • 学会等名
      FMSP交流会
    • 発表場所
      東京大学(東京都目黒区)
    • 年月日
      2014-07-19
    • 説明
      (ポスター発表)
  • [学会発表] 境界つき3次元双曲多様体のpresentation length2014

    • 著者名/発表者名
      吉田建一
    • 学会等名
      幾何学と変換群の諸相2014
    • 発表場所
      玉原国際セミナーハウス(群馬県沼田市)
    • 年月日
      2014-07-12
    • 招待講演

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公開日: 2016-06-01  

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