| 研究課題/領域番号 |
15204001
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| 研究種目 |
基盤研究(A)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
桂 利行 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40108444)
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| 研究分担者 |
斎藤 毅 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70201506)
寺杣 友秀 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50192654)
中村 郁 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (50022687)
塩田 徹治 立教大学, 理学部, 名誉教授 (00011627)
加藤 文元 京都大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (50294880)
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| 研究期間 (年度) |
2003 – 2006
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| キーワード | カラビ・ヤウ多様体 / K3曲面 / 楕円曲面 / アーベル多様体 / モジュライ空間 / モーテル・ヴェイユ格子 / ハイト / イリュージー層 |
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| 研究概要 |
Xを代数的閉体k上のn次元非特異完備代数多様体とする。Xの標準束が自明的で0次とn次以外の構造層のコホモロジー群が消えるとき、XはCalabi-Yau多様体と呼ばれる。研究代表者は、正標数においてCalabi-Yau多様体のArtin-Mazur形式群に注目し、それを用いてCalabi-Yau多様体の構造を調べ、van der Geerとの協同研究の結果として以下のような結果を得た。体の標数をpとし、Fermat型のr次元Calabi-Yau多様体をX^(r)(p)とするとき、rが2以上ならば、Artin-Mazur形式のheight hは1か無限大のいずれかであること、また、h=1であるための必要十分条件はpがr+2を法して1であることが示せた。M. ArtinはK3曲面Xに対しては、Xが塩田の意味の超特異であることと、Artinの意味の超特異であることが同値であろうと予想した。Feriat K3曲面X^(2)(p)の場合にArtin予想が成り立つことは容易に示せるが、我々の結果を用いれば、高次元においては偶数次元でも、Calabi-Yau多様体に対してArtin予想は一般化できないことがわかる。次に、標数0において、rigidになるような一般化されたKummer Calabi-Yau多様体Xを取り上げた。Xの中間Jacobi多様体は楕円曲線Eになるが、XとEがgood reductionになるような正標数への還元を考え、X mod pのArtin-Mazur形式群のheightとE mod pの超特異性の関係を調べ、特別な場合にその関係を明らかにした。正標数のカラビ・ヤウ多様体の微分形式の構造分析に関しては、n次元カラビ・ヤウ多様体X上のリュージー層のあるコホモロジー群には自然なペアリングが定義できるが、このペアリングに関する基本的な直交関係を示した。また、複素数体上定義された次数2dの偏極K3曲面のモジュライ空間M_(2d)の構造を調べ、そこに含まれる完備代数多様体の最大次元が17次元であることが示せた。
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