非線型方程式の代数,幾何,解析

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15340004
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 梅村 浩 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022678)
• 研究分担者: 岡本 和夫 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40011720) ; 岡田 聡一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (20224016) ; 藤原 一宏 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00229064) ; 野海 正俊 神戸大学, 理学部, 教授 (80164672) ; 向井 茂 京都大学, 数理解析研究科, 教授 (80115641)
• キーワード: Painleve方程式 / 微分Galois理論 / Garmier系 / 野海系

研究概要

無限次元微分Galois理論を我々は1994年に提案した。我々の理論を一つの動機として、Malgrangeは彼の無限次元微分Galois理論を提案をした。我々の理論とMalgrangeの理論との関係はは必ずしも、明白なものではなかった。我々の理論は代数的な議論に基づいており、一方Malgrangeの理論は次の定理の非線型版をめざした。
定理射影直線上にn階のFuchs型線型常微分方程式が与えられたとき、そのGalois群はモノドロミー群のGL_nにおけるZariski閉包に一致する。一方よく知られたようにPainleve方程式はモノドロミー保存変形から生じることがR.Fuchs以来知られている。この過程で生まれる1階非線型常微分方程式の無限次元微分Galois群を使ってPainleve方程式を特徴づける研究がJ.Drachにある。彼の研究は疑問の多いDrach自身の無限次元微分Galois理論に依存している。難解で問題の多いDrachの論文を、我々の無限次元微分Galois理論を使って解釈した。この仕事にMalgrangeは感心を持ち彼の無限次元微分Galois理論の視点から我々と同様の結果を得た。我々はこのPainleve方程式と関係した特別な1階非線型方程式について何故二つの異なる無限次元微分Galois理論が同一の結果を導くのか追求し、両者の間の関係を定式化した。

研究成果

• [文献書誌] Mukai, Shigeru: "Canonical curves of genus eight"Proc.Japan Acad.Ser.A Math.. 110. 147-162 (2003)
• [文献書誌] Umemura, Hiroshi: "Monodromy preserving deformation and differential Galois group"Proc.J.-P.Ramis symposium 2003. (発表予定). (2004)
• [文献書誌] Noumi, Masatoshi et al.: "_<10>E_9 solution to the elliptic Painleve equation"J.Phys.A.. 36. L263-L272 (2003)
• [文献書誌] Noumi, Masatoshi et al.: "Monodromy groups of hypergeometric functions satisfying algebraic equations"Tohoku Math.J.. 55. 189-205 (2003)
• [文献書誌] Noumi, Masatoshi et al.: "Tropical Robinson-Schensted-Knuth correspondence and discrete Toda equations"数理解析研究所講究録. 1302. 155-171 (2003)
• [文献書誌] Mukai, Shigeru: "An introduction to moduli and invariants"Cambridge Univ.Press. 503 (2003)