研究課題
計算機の進歩により、計算するという観点から現代数学、特に代数学、を見ることが意味を持ちつつあります。この計算を通じて、現代暗号に代表されるように、代数学が直接に工学などの実学に応用されることも可能になっています。本研究では、『現在の計算機の能力で、どこまで代数における数学的な操作が計算可能か』を代数構造の分解に焦点をあてて検証し、実現した計算法を『数学研究支援として役立てる』ことを試みました。本年は、昨年度に引き続き、1.可換代数における分解計算と2.計算による数学研究・工学等応用支援を中心に取り扱い、また最終年度としての総括を行いました。1.では、(1)多項式イデアルの一般的な取り扱いのため、指数部と係数部にパラメータを含む場合の構造の『安定性』に取り組み、環準同型を導入することで、前年度の結果を拡張することに成功し、国際会議ACA2005で発表しました。(2)有理数係数多項式のGalois群と分解体の計算法について、かねてより開発していたmodular技法をより有効にする改良をParis第6大学の大学院生Renault氏と共同で行い、計算機上の実装実験によりその有効性を検証し、論文として完成させました。(3)不等式制約の下での最適化計算として、制約式、目的関数とも多項式(有理関数)の場合に、限定子除去法によるパラメータ空間の分割が非常に強力な計算法と考えられていますが、その計算効率の悪さが非常に問題でした。そこで、この計算効率の改善のため、穴井研究員(富士通研究所)らと共同で、数値計算との融合をはかり、その計算法を国際会議A3L2005で発表し、さらには、代数拡大体計算にdynamic evaluationを適用する新たな方式を開発し、その実装を行いました。2.では、(1)木村JST研究員(立教大学)らと共同で、実際の物理・工学等に現われる大規模連立代数方程式や行列式計算に記号・代数的手法を適用し、その効果を検証しました。(2)制御理論における安定性判定をパラメータを含むままで計算することで、安定性の保証されるパラメータ空間の分類を行うことに成功し、国際会議ISSAC2005で発表しました。最終年度の総括として、本研究を評価しその報告書を作成しました。また、本研究を発展させるテーマとして、パラメータを用いて記述される代数構造の安定性を見出し、計算数学国際会議ASCM2005では、パラメトリックシステムというセッションを企画しました。(計画では九大で開催する予定でしたが、韓国ソウルでの開催となりました。)
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Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation 2005
ページ: 21-28
Algorithmic Algebra and Logic, Proceedings of the A3L 2005
ページ: 25-30
Quantum Information Processing 4・2
ページ: 65-85
日本応用数理学会論文誌 15・3
ページ: 307-322
数式処理 11・3
