ガロア理論における生成的多項式族の構成とその数論研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15340015
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 橋本 喜一朗 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90143370)
• 研究分担者: 三宅 克哉 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 教授 (20023632) ; 村上 順 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90157751) ; 小松 啓一 早稲田大学, 理工学部, 教授 (80092550) ; 福田 隆 日本大学, 生産工学部, 助教授 (00181272) ; 角皆 宏 上智大学, 理工学部, 専任講師 (20267412)
• キーワード: Galois theory / Generic Polynomials / Inverse Galois problem / Z_p extension / Modular forms / Abelian surface / Stable derivarion algebra

研究概要

本研究の主要課題である,「ガロアの逆問題」の構成的側面の中心をなす「生成的」多項式族を具体的に構成することが,本研究の主要課題である.特にパラメータの個数を可能な限り最小にすること,および出来る限り係数のサイズが小さな多項式族を求めることが重要である.
今年度の研究成果として第一のものは,5次の可移な置換群Gとして実現される5個の有限群S_5,A_5,F_5,D_5,C_5に対して,2個(最小)のパラメータを持つ生成的多項式族を具体的に構成したことである(論文2).我々の得た多項式族は既に知られているものより遥かに簡潔な形をし,かつ統一的手法で構成が出来たという点で画期的と言える.すなわち,射影直線上の5点配置のなす空間M_{0.5}へのGの作用を考慮し,M_{0,5}の関数体のG-不変体の生成元を求めるやり方で,古典的不変式論の流れと,近年の幾何学的ガロア表現の手法を合わせた自然な構成で最良の結果が行られたことは意義深い.また,交代群A_5に対する我々の生成的多項式族の判別式はパラメータs,tの整係数既約多項式の平方式D(s,t)となっており,これから実際にs,tが整数でD(s,t)=pが素教となる場合は,判別式がpの2次体の不分岐なA_5拡大が得られる.
実際に判別式が1000未満の知られている全ての場合はこのようにして不分岐なA_5拡大が得られることが確認される.この事実をさらに大きな範囲で検証し,一般証明への手がかりを探ることは今後の興味深い課題である.以上の他に,ガロア群の表現とその整数論への応用に関連する諸問題を分担者の各々が研究し,記載の成果を挙げた.

研究成果

• [文献書誌] Ki-ichiro Hashimoto: "Q-curves of rational j-invaritants and Jacobian surfaces of GL2-type"Galoas Theory and Modular Forms, DEVM 11, Kluwer Acad.Publ.. 11. 39-64 (2003)
• [文献書誌] Ki-ichiro Hashimoto, Hiroshi Tsunogai: "Generic polynomials over Q with two parameters for the transitive groups of degree five"Proc.Japan Acad.. 79A. 148-151 (2003)
• [文献書誌] Keiichi Komatsu, Takashi Fukuda: "On Minkowski units constructed by special values of Siegel modular functions"Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux. 15. 133-140 (2003)
• [文献書誌] Keiichi Komatsu, Takashi Fukuda: "Z_p-extensions associated to elliptic curves with complex multiplication"Math.Proc.Cambridge Phil.Soc.. (to appear). (2004)
• [文献書誌] Jun Murakami, Masakazu Yano: "On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron"Communications in Analisys and Geometry. (to appear). (2004)
• [文献書誌] Katsuya Miyake: "Some Families of Mordell Curves associated to Cubic Fields"J.of Computational and Applied Math.. 160. 217-231 (2003)
• [文献書誌] Katsuya Miyake: "Cubic Fields and Mordell Curves"Theorie des Nombres et Applications. 5(未定). (2004)
• [文献書誌] Hiroshi Tsunogai: "The stable derivation algebras for higher genera"Israel J.of Math.. 136. 221-250 (2003)
• [文献書誌] 水澤 靖: "実2次体の円分 Z_2-拡大と最大不分岐pro-2-拡大について"京都大学数理解析研究所講究録. 1324. 76-88 (2003)
• [文献書誌] K.Hashimito, H.Nakamura, K.Miyake: "Galoas Theory and Modular Forms"Kluwer Acad.Publ.. 393 (2003)