| 研究分担者 |
小池 敏司 兵庫教育大学, 学校教育学部, 教授 (60161832)
泉 脩臓 近畿大学, 理工学部, 教授 (80025410)
酒井 文雄 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (40036596)
永谷 忠良 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (20080492)
小池 茂昭 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (90205295)
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| 研究概要 |
ジェット空間内のThom-Bordman多様体$Sigma^{i,j}$(のザリスキ閉包)に着目し,それらがいつCohen-Macaulay性(と呼ばれる代数的に良い性質,代数的交点数を考える立場からはCohen-Macaulay性であるか否かを決定するのは重要な問題である)を持ち得るかを議論した。またRonga氏による特異点解消を考察することにより$Sigma^{n-p+1,1}$軌跡に台をもつ複体を構成している。これは写像芽$(C^n,0)to(C^2.0)$の微小摂動に現れるカスプ($A_2$特異点)の個数にかかわるもので,特に,ジェット空間内の丁度$Sigma^{n-p+1,1}$軌跡(の閉包)で零となる式を明示的に記述できる,n=2,3,4の場合は、カスプの個数の公式の明示的形を与えている。(次ページ最初の論文)
次に特異点論的問題意識から、古典的な微分幾何学とそこから派生する微分方程式を論じている。
前節で問題となった、Thom-Boardman特異点集合の解析が鍵の役割を果たす。ユークリッド空間の部分多様体の、平坦さや丸さを、それら特異点の言葉を用いて定義し、より平坦な(または丸い)点での指数を定義している。さらに主方向の微分方程式の特異点論的立場からの導出や、R^3内の特異点を持つ場合の曲面の指数の計算可能性などを示しLowner予想の類似(階数1のときは指数は1以下と予想)を提出している。また、曲率線の微分方程式の一般化として2変数の微分方程式を捉え、総実と言う概念を定義しその指数とその性質、孤立特異点の分類、等を論じた。(次ページ第3の論文)
関数を別の関数のレベル曲面に制限したときその関数の振舞を記述するのは興味ある問題であるが、前者の関数のレベルが平行化可能であれば、平行化を与えるベクトル場を使って、自然にある写像が定義でき、その写像度が正点軌跡と負点軌跡のオイラー標数の差であることを示している。この文脈では、いつ関数のレベル曲面が平行化可能であるか、またそのとき平行化を与えるベクトル場を具体的に与える事が重要であるが、前者の問題には必要十分条件を、後者の問題には、複素構造、4元数構造、ケーリー構造との関連等を論じた。(次ページ第4の論文)
その他、弧解析的写像に関する逆写像定理(次ページ第2の論文)、ブロー解析的写像の理論の進展(次ページ第6の論文)などの成果がある。
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