超幾何微分方程式の計算解析

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15340045
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 高山 信毅 神戸大学, 理学部, 教授 (30188099)
• 研究分担者: 大阿久 俊則 東京女子大学, 文理学部, 教授 (60152039) ; 増田 哲 神戸大学, 自然科学研究科, 助手 (00335457) ; 野呂 正行 神戸大学, 理学部, 教授 (50332755) ; 松本 圭司 北海道大学, 理学研究科, 助教授 (30229546) ; 齋藤 睦 北海道大学, 理学研究科, 助教授 (70215565)
• キーワード: calA-超幾何関数 / calA-超幾何方程式 / D-加群 / 計算代数解析 / 超幾何関数の積分表示 / グレブナ基底

研究概要

この研究により得られた結果は以下の通り。
1."不確定"特異点型A-超幾何微分方程式系の形式巾級数解の構成アルゴリズムおよびslopeの計算アルゴリズムを与えた.解は高次のコホモロジ的な解も含む.
2.1×n行列で定義されるA-超幾何微分方程式系のslopeを決定した.
3.(k, n)-型の超幾何関数に関するKummer型の公式を生成するアルゴリズムを与えた.これはガウスの超幾何方程式のKummerの24個の解の拡張である.さらに(2,5)-型については,すべてのKummer型の公式120個を列挙した.
4.多変数超幾何関数の数値解析をおこなうための数式-数値融合アルゴリズムを与えた.このアルゴリズムではグレブナ基底の計算を用いて多変数の問題を常微分方程式の数値解析の問題に帰着する.このアルゴリズムを用いて2変数ベッセル関数のグラフ等を生成した.
5.上記のアルゴリズム達はグレブナ基底計算を利用するが,新しいデータ構造を用いた高速計算方法を研究し実装した.
6.超幾何関数の逆関数であるテータ関数,超幾何方程式の非線型一般化であるパンルベ系の方程式に関して種々の公式を得た(詳しくは裏面の最後の2編の論文を参照).

研究成果

• [文献書誌] N.Takayama: "Generating Kummer Type Formulas for Hypergeometric Functions"Algebra, Geometry, and Software Systems. 131-145 (2003)
• [文献書誌] F.Castro-Jimenez, N.Takayama: "Singularities of the Hypergeometric System associated with a Monomial Curve"Transaction of the American Mathematica Society. 355. 3761-3775 (2003)
• [文献書誌] T.Oaku, Y.Shiraki, N.Takayama: "Algorithms for D-modules and Numerical Analysis"Proceedings of ASCM 2003. 23-39 (2003)
• [文献書誌] M.Noro: "A Computer Algebra System : Risa/Asir"Algebra, Geometry, and Software Systems. 147-162 (2003)
• [文献書誌] T.Masuda: "On a class of algebraic solutions to the Painleve VI equation, its determinant formula"Funkcialaj Ekvacioj. 46. 121-171 (2003)
• [文献書誌] K.Matsumoto, H.Terasoma: "Theta constants associated to cubic threefolds"Journal of Algebraic Geometry. 12. 741-775 (2003)