| 研究分担者 |
高木 泉 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40154744)
千原 浩之 東北大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70273068)
栄 伸一郎 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (30201362)
溝口 紀子 東京学芸大学, 教育学部, 助教授 (00251570)
二宮 広和 龍谷大学, 理工学部, 助教授 (90251610)
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| 研究概要 |
非線形拡散系のダイナミクスは,爆発や凝集,遷移層など各種の特異性が発現するメカニズムとその数理構造の解明が理解の鍵となる.しかしながら,このような強い特異性が発現する場合には,従来の解析手法をそのまま適用するだけではなく,問題に応じた新たな手法の開発が必要である.
本研究は,これまでの研究の不備な点を補い,非線形拡散系に見られる数理構造を明らかにするとともに,新たな解析手法の構築を目指している.特に,安定な時空間構造生成のメカニズム,高次元パターンダイナミクス,3重結合を持つ界面ダイナミクスについての研究を行った.
具体的な研究成果は以下のとおりである.
(1)安定な三つの状態を隔てる3重結合を伴う界面に対し,定常状態が安定であるための条件を決定するとともに,方程式の構造(要素の数や非線形性,領域の対称性など)と安定解の時空間構造(周期性,空間的非一様性,単調性,対称性)の関係について解析した.
(2)べき乗の形の非線形項を含む非線形熱方程式においては,指数の値によって解の構造が変化することが知られている,この研究では,指数がある臨界値より大きいときに非有界大域解が存在することを示し,またその増大度や増大点の集合の構造について明らかにした.
(3)ある準線形放物型方程式に対し,初期値に応じて大域的増大解,進行波解,有限時間消滅解のいずれかに分類されることを示し,その漸近挙動や消滅時刻における解の振る舞いについて調べた.
(4)Fisher型の方程式においては,フロントと呼ばれる遷移層の振る舞いが解のダイナミクスを理解する鍵となる.この研究では,初期値の取り方によっては時間的にも空間的にもきわめて複雑な振る舞いをすることを示した.
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