| 研究分担者 |
高木 泉 東北大学, 大学院理学研究科, 教授 (40154744)
千原 浩之 東北大学, 大学院理学研究科, 助教授 (70273068)
栄 伸一郎 九州大学, 大学院数理学研究院, 教授 (30201362)
溝口 紀子 東京学芸大学, 教育学部, 教授 (00251570)
二宮 広和 龍谷大学, 理工学部, 助教授 (90251610)
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| 研究概要 |
非線形拡散系のダイナミクスの解析は,特異性が発現するメカニズムとその数理構造の解明が理解の鍵となる.本研究では特に,安定な時空間構造生成のメカニズム,高次元パターンダイナミクス,単独非線形拡散方程式の解の長時間挙動についての研究を進めた.
主な研究成果は以下のとおりである.
・フィッシャー型方程式のフロント解についての研究を行い,特異極限における界面の挙動が,ある種のHamilton-Jabobi方程式のゼロレベル集合として表されることを示した.その結果,初期状態によって界面の挙動を有限時間内では完全にコントロールできることが明らかにした.
・藤田型方程式の解の挙動についての研究を行い,初期値の空間的減衰率と解の増大率あるいは減衰率について精密に評価し,それらの関係を定量的に明らかにした.そのために,原点近傍の解の振る舞いと無限遠近傍での解の振る舞いを形式的な漸近展開で求め,それらの接続条件から解の挙動を推定し,この形式的な議論を元に適当な優解と劣解を構成することによって厳密な証明を与えた.
・符号変化する重みを持つ固有値問題に関連した最小化問題について研究を行い,一般的な状況の下でminimizerの存在とその基本的な性質について明らかにした.またこれを用いて1次元の場合に関する完全な解答を与えた.
・競争型拡散方程式の特異極限と関連する無限区間上の境界値問題についての研究を行い,界面近くでの解の振る舞いを連立の常微分方程式系で表し,その解の漸近挙動を精密に調べた.この解析を元に,元の競争型拡散方程式に適当な優解と劣解を構成し,その結果を用いて,種間競争率を無限大としたときの特異極限が一種の自由境界値問題として表されることを証明した.
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