臨界型非線形偏微分方程式の解の特異性と正則性の研究

2003 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 15340056
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 小川 卓克 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (20224107)
• 研究分担者: 小薗 英雄 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00195728) ; 隠居 良行 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (80243913) ; 川島 秀一 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70144631) ; 小林 孝行 九州工業大学, 工学部, 助教授 (50272133) ; 三沢 正史 熊本大学, 理学部, 助教授 (40242672)
• キーワード: Navier-Stokes方程式 / 調和写像流 / Euler方程式 / 解の正則性条件 / Besov空間 / 対数型臨界Sobolev不等式 / 半導体素子方程式 / 複数Ginzburg-Landau方程式

研究概要

研究実績は以下のとおり.
研究代表者の小川は研究協力者の谷内と共同で臨界型の対数形Sobolevの不等式(Brezis-Gallouetの不等式)を斉次,非斉次Besov空間に拡張した。またそれを用いて非圧縮性Navier-Stokes方程式の弱解の一意性判定条件、3次元Euler方程式の解の爆発判定条件の精密化を行った。さらに有界領域のような境界を持つ場合に、これらの不等式を拡張して、Euler方程式の爆発判定条件を拡張した。また同様の不等式をLizorkin-Triebel空間のsemi-normを用いて拡張することにより、BMO-L^∞型の臨界不等式の最良形を得ることができた。これから、調和写像熱流の解に対してある正則性条件を示すことができた。また協力者の黒木場正城と共同で、半導体素子設計のための基礎放物-楕円型方程式系に対する解の適切性を示し、さらに臨界状況における、解の有限時間内の爆発を証明した。特に初期値に対する敷居値条件8πを精密に求めた。また脇力者の横田智巳とともに、2次元一般領域における、複素係数を持つGinzburg-Landau型方程式の初期値境界値問題を考えて、その弱解の一意性と、粘性係数にあたる係数の実部を0に近づけたときのいわゆる粘性消滅極限を議論し、従来得られていなかった2次元一般領域の問題に対して弱解が対応する非線形Schrodinger型方程式の解に強収束することを示した。
分担者の隠居は熱対流現象を記述するモデル方程式としてある種の非斉次非圧縮Navier-Stokes方程式系の弱解の時間大域存在を示し,そのOberbeck-Boussinesq極限を考察した.
分担者の三沢は変数係数時間発展p調和作用素の線形化放物型作用素に対するSchauder評価の証明とそれによる古典解の構成.、BMO関数の導関数を外力とし,VMO関数を係数とする時間発展p調和方程式の解の空間一階導関数に対するL^q評価の証明、及びL^1関数を外力とするp-調和作用素に対する弱解の構成についての研究を行った。

研究成果

• [文献書誌] T.Ogawa: "Sharp Sobolev inequality of logarithmic type and the limiting regularity condition to the harmonic heat flow"SIAM J.Math.Anal.. 34. 1317-1329 (2003)
• [文献書誌] T.Ogawa, Y.Taniuchi: "A note on blow-up criterion to the 3-D Euler Equations in a bounded domain,"J.Math.Fluid Mech.. 5. 17-23 (2003)
• [文献書誌] T.Ogawa, Y.Taniuchi: "On blow up criteria of smooth solutions to the 3-D Euler equations in a bounded domain.,"J.Differential Equations,. 190. 36-63 (2003)
• [文献書誌] M.Kurokiba, T.Ogawa: "Finite time blow-up of the solution for a nonlinear parabolic equation of drift diffusion type,"Diff.Integral Equations. 16. 427-452 (2003)
• [文献書誌] H.Kozono, T.Ogawa, Y.Taniuchi: "Navier-Stokes equations in the Besov space near L^∞ and BMO,"Kyushu J.Math.. 57. 303-324 (2003)
• [文献書誌] T.Ogawa, Y.Taniuchi: "The limiting uniqueness criterion by vorticity to Navier-Stokes equations in Besov spaces,"Tohoku Math.J.. 56. 65-77 (2004)
• [文献書誌] T.Ogawa, T.Yokota: "Uniqueness and inviscid limits to the complex Ginzburg-Landau equation in two dimensional general domain,"Comm.Math.Phys.. 245. 105-121 (2004)
• [文献書誌] S.Kawashima, S.Nishibata, M.Nishikawa: "Asymptotic stability of stationary waves for two-dimensional viscous conservation laws in half plane,"Discrete and Continuous Dynamical Systems. Suppl. Vol. 469-476 (2003)
• [文献書誌] S.Kawashima, S.Nishibata, P.Zhu: "Asymptotic stability of the stationary solution to the compressible Navier-Stokes equations in the half space,"Commun.Math.Phys.. 240. 483-500 (2003)
• [文献書誌] S.Kawashima, Y.Nikkuni, S.Nishibata: "Large-time behavior of solutions to hyperbolic-elliptic coupled systems,"Arch.Rat.Mech.Anal.. 170. 297-329 (2003)
• [文献書誌] S.Kawashima, Y.Tanaka: "Stability of rarefaction waves for a model system of a radiating gas,"Kyushu J.Math.. (in press). (2003)
• [文献書誌] Y.Kagei: "A limit problem in natural convection, to appear in Nonlinear Differential Equations and Applications,"Nonlinear Differential Equations and Applications. (in press). (2003)
• [文献書誌] N.Kita: "Sharp L^r asymptotics of the small solutions to the nonlinear Schrodinger equations"Nonlinear Analysis. 52. 1365-1377 (2003)
• [文献書誌] T.Kobayashi, T.Suzuki, K.Watanabe: "Interface regularity for Maxwell and Stokes systems"Osaka J.Math.. 40-4. 925-944 (2003)
• [文献書誌] M.Misawa: "Existence of classical solution for linear parabolic system."Comment.Math.Univ.Carolin.. in press. (2004)
• [文献書誌] M.Misawa: "L^q estimates of gradients for evolutional p-Laplacian systems,"Ark.Mat.. in press. (2004)
• [文献書誌] M.Misawa: "Existence for a Cauchy-Dirichlet problem for evolutional p-Laplacian systems"Applicationes Math.. in press. (2004)