| 研究概要 |
今年度はパンルヴェ型力学系およびその拡張の研究を行い,以下のような結果を得た.
1.q-パンルヴェ方程式の超幾何解の研究.2階のパンルヴェ型力学系の平面3次曲線のペンシルを用いた定式化を応用し,退化した場合も含めてSakai理論の枠組みのすべてのq-パンルヴェ方程式に対して超幾何解を具体的に構成することに成功した.また,ベックルント変換を適用して高次の超幾何解およびそのdeterminant formulaの研究を推進した.さらに,ここで得た方法をパンルヴェ微分方程式に応用し,それらのHamiltonianが平面3次曲線のペンシルから構成できることを示した.
2.パンルヴェ微分方程式の非可積分系的側面の研究.特にパンルヴェ第VI方程式のポアンカレ回帰写像を複素力学系として考察し,その位相的エントロピーが正であることを証明した.
3.超離散可積分系の研究.特に箱玉系と呼ばれるToda方程式の超離散化を考察し,境界がある場合への拡張とKerov-Killirov-Reshetikhin写像による逆散乱法的解法を与えた.
4.パンルヴェ微分方程式の補助線形問題と解のdeterminant formulaに関する研究.有理解に対するHankel determinant formulaの要素の母函数が超幾何型特殊函数の対数微分で与えられることがわかっていた.今年度はパンルヴェ第II方程式のgenericな解に対して母函数を考察し,母函数は補助線形問題の解の比に他ならないことを明らかにした.
5.非自励型離散Toda方程式の研究.E型対称性を持つq-パンルヴェ方程式の超幾何解に密接に関連する,離散Toda方程式の非自励的拡張を考察し,Hirota型双線形形式とソリトン解を与えるτ函数のdeterminant formulaを得た.
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