| 研究概要 |
qを素数冪として,q^2元体Fを考え,F上の射影平面内で非斉次方程式y^q+y=x^<q+1>で定義された曲線をHermitian曲線とよぶ.この曲線は有理点を十分多く持ち,また強い対称性を持つことより,良い代数曲線符号を構成するために最も有望視されているもののひとつである.この曲線上の1点符号については,Yang-Kumarにより,そのパラメータが決定されていたが,2点符号についての最小距離はわれわれが前年度に行った研究が最新の成果であった.本年度も引き続き2点符号の最小距離を求めることを追求し,幸運にも,全ての2点符号についてそれらの最小距離を決定することができた.最小距離が設計距離に一致するような2点符号を調べるに際しては,それら固定した2点各々でHermitian曲線と2重接触するような2次曲線の族を詳細に研究することが必要であった.この部分にもHermitian曲線の自己同型と2次曲線族との関連などの新しい知見を含んでいる.(この2次曲線の幾何の部分は基礎体の標数が2の場合とそれ以外の場合では様相を異にする.)1点符号を真に凌駕する2点符号の最小距離の決定には,Yang-Kumarが1点符号の最小距離決定の際用いた手法を,より精密化した形で用いた.また,かつてWeierstrass Pairを用いた2点符号の理論を展開した際にHermitian曲線上でΩ構成法により構成した例について,その時点では最小距離が(期待通り大きくなる事は分かっていたものの)下からの評価を与えただけであったが,今回の結果の応用としてその評価式の等号が成立することが判明した.
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