| 研究概要 |
1 n次交代群における方程式x^d=1の解の個数に関する指数型母関数に現れる2つの指数関数exp(f(x))およびexp(g(x))がもつp進べき級数としての性質を調べた。さらにexp(f(x))およびexp(g(x))をそれぞれ数列{h_n}と数列{r_n}の指数型母関数と見るとき、h_nおよびr_nをp進解析関数を用いて記述した。
2 Hを有限単純群として,HをHの内部自己同形とみなす。GをHの自己同形群とし,Gの元aはHの元ではなく、a^2はHの元であるとする。予想「Hの位数の約数eがHの位数を割り切る2の最大べきの倍数であり、しかも、aHにおけるx^<2e>=1の解の個数が丁度eならば、すべてのaHの元がx^<2e>=1の解である」がHがn次交代群である場合に正しいことが証明された。
3 有限群Gから1の原始m乗根で生成される巡回群C_mへの準同型により定まる、n次対称群によるGの環積から有限巡回群C_mへのある準同型の核として有限群G_nを考える。有限生成群AからG_nへの準同型の個数に関する指数型母関数が、すべてのAからC_mへの準同型に関する核の共通部分Φ_m(A)によるAの剰余群A/Φ_m(A)の各元cΦ_m(A)に対して決まるexp(f(x))の形の指数関数の和で表されることを、既約指標の第1直交関係を用いることにより示した。
4 有限巡回群p群からn次対称群による位数pの巡回群の環積への準同型の個数に関する指数型母関数のp進的性質を得た。
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