| 研究概要 |
可換環AのイデアルIに含まれるイデアルJで充分大きなn>0に対してI^<n+1>=JI^nなるものをIのreductionと言う.可換環のイデアルを解析する際には,そのreductionをとって考察することが非常に有効であることが知られている.そこで一般のフィルトレーションに対してもreductionという概念を拡張しようという試みは既に成されてきたが,充分な成果が得られているとは言い難い状況である.この研究では,フィルトレーションのreductionを,ある条件を充たすAの元の系として定め,その有用性を検証していきたい.ここで言うフィルトレーションとはAのイデアルの族F={F_n}_<n∈>Zで,各nに対してF_n⊇F_<_n+1>となり,F_mF_n⊆F_<m+n>が全てのm,nに対して成り立つものを言う.さらにF_0=AかつF_1≠Aも仮定する.
さてa_0,a_1,...,a_lはAの元でa_0=0かつa_i∈F_<k_i>なるk_i>0がi=1,...,lに対してとれるとせよ.さらにk_0=0とおく.充分大きなn>0をとるとF_n=Σ^l_<i=0>a_iF_<k_i>が成立するとき{a_i∈F_<k_i>}_<0【less than or equal】i【less than or equal】l>はFのreduction systemであると言うことにする.今年度の研究ではFに随伴する次数付環G(F)=【symmetry】_<n【greater than or equal】0>F_n/F_<n+1>のa-invariantはreduction systemを構成する元のdegreeを用いて評価することが可能であることを得た.正確には次の様に述べられる:あるr>0をとると任意のn>rに対してF_n=Σ^l_<i=0>a_iF_<n-k_i>となり,さらにpがF_1を含む素イデアルでdimAp=i<lなるものであれば,任意のn>r-Σ^l_<j=i+1>k_jに対してF_p=Σ^i_<j=0>a_jF_<n-k_j>A_pも成立するとせよ.このときG(F)のa-invariantは高々r-Σ^l_<i=0>k_iである.
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