| 研究概要 |
F={F_n}_<n∈Z>は局所環Aのフィルトレーションとせよ.a_1 ∈ F_<κ_1>,...,a_l ∈ F_<κ_l>(κ_1,...,κ_lは正整数)がFのreduction systemであるとは,ある整数γ【greater than or equal】0を適当にとると,任意のn【greater than or equal】γに対してF_n=Σ^l_<i=1>a_iF_<n-κ_i>が成り立つことを言う.今年度の研究ではF_1の高さsとlの差に制限を設けることなく,次数付き環G(F)のdepthの評価を行った.主結果を説明するためにκ_1【greater than or equal】【triple bond】【greater than or equal】κ_lであると仮定し,0【less than or equal】i【less than or equal】lに対してK_1=κ_0+κ_1+【triple bond】+κ_i,N_i=K_i-K_l+γとおき(但しκ_0=0とする),J_iはa_1,...,a_iで生成されるAのイデアルとする.このとき
depth G(F)【greater than or equal】min{d}∪{depth A/F_n+i|O【less than or equal】i【less than or equal】l and n【less than or equal】N_i}
が成立するためには,次の3条件が充たされれば良いことが分かった:(1)pがF_1の素因子でht_A p<lならば,任意のn【greater than or equal】max{0,N_i}に対してF_nA_p=Σ^i_<j=0>a_iF_<n-κ_j>A_P.(2)0【less than or equal】i<lでN_i<0ならば,任意の素イデアルpに対してdepth(A/J_i:F_1)_p【greater than or equal】ht_A P-iとなり,さらにi>0のときはJ_<i-1>の素因子qでF_1を含まないものについては必ずa_i 【∈!/】 qとなる.(3)0【less than or equal】i<lでn【less than or equal】N_iならば,任意のF_1の素因子pに対してdepth(A/F_n)_p【greater than or equal】min{ht_A p-i,l-i}.
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