| 研究分担者 |
秋山 茂樹 新潟大学, 理学部, 助教授 (60212445)
大渕 朗 徳島大学, 総合科学部, 教授 (10211111)
本間 正明 神奈川大学, 工学部, 教授 (80145523)
小島 秀雄 新潟大学, 工学部, 助教授 (90332824)
徳永 浩雄 東京都立大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30211395)
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| 研究概要 |
3次元射影空間P^3(k)の4次非特異非退化代数曲線をCとし,その関数体をK=k(C)とする。P^3(k)の直線lでCと交わらないものを中心としたCから直線l_0への射影を考え,この射影が決める体の拡大をK/K_lとおく。この拡大がガロワ拡大のとき,lをガロワ直線という。また,一方拡大K/K_lのガロワ閉包をL_lとし,ガロワ群Gal(L_l/K_l)をG_lとおく。このとき,次の成果が得られている:1.各4次曲線は3本のV_4直線をもち,J不変量が1のときのみ,更に直線にZ_4直線を4本もつ。しかもそれらの配置もわかる。
上記の曲線は楕円曲線である,これの一般化である,アーベル曲面に関しても研究した。Aをアーベル曲面とし,Dをその上のvery ample divisorとする。f=f_D:A→P^nはcomplete linear system |D|による埋め込みとする。LはP^nの線形部分空間でdim L=n-3かつL∩ f(A)=0とする。このとき,L中心の射影π_L:P^n:・・・→L_0でπ_LをAに制限するとπ:A→L_0〓P^2が全射になる。従って,体の拡大π^*:K_0→K,K_0=k(L_0),K=k(A),が得られる。この拡大がガロワ拡大のとき,Lをガロワ部分空間という。そしてガロワ群G_L=Gal(K_L/K_0)をLでのガロワ群という。
もしこの埋め込みがガロワ部分空間を持っていたら,(A,D)をガロワ埋め込みを持つという。アーベ曲面Aに対してDが存在してガロワ埋め込みを持つ条件を研究して次の成果を得た:2.Aはガロワ埋め込みを持つとしてR_πをπ:A→L_0の分岐因子とすると,R_πは可約でその成分はすべて楕円曲線である。従って,特にアーベル曲面は単純ではない。
3.Aはガロワ埋め込みを持つとすると,ガロワ群は可換でない。また,もしアーベル曲面AがP^4に正規に埋め込まれていたとすると,AはP^4の中にガロワ部分空間を持たない。
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